Encuentra la derivada: algoritmo y ejemplos de soluciones. Derivada de una función de potencia (potencias y raíces)

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples), definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite antes mencionado de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, solo es necesario utilizar la tabla de Derivadas y reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo primo dividir funciones simples en componentes y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. A continuación, encontramos las derivadas de funciones elementales en la tabla de derivadas y las fórmulas para las derivadas del producto, suma y cociente, en las reglas de derivación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función.

Solución. De las reglas de diferenciación aprendemos que la derivada de una suma de funciones es la suma de derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas aprendemos que la derivada de "x" es igual a uno y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Diferenciamos como derivada de una suma en la que el segundo término tiene factor constante se puede sacar del signo de la derivada:

Si aún surgen dudas sobre el origen de algo, normalmente se aclaran después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Estamos avanzando hacia ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples.

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre igual a cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo.
2. Derivada de la variable independiente. Muy a menudo "X". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordarlo durante mucho tiempo.
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, es necesario convertir raíces no cuadradas en potencias.
4. Derivada de una variable a la potencia -1
5. Derivado raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada de tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arcocoseno
12. Derivada de arcotangente
13. Derivada del arco cotangente
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivado funcion exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de una suma o diferencia
2. Derivado del producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces las funciones son diferenciables en el mismo punto

y

aquellos. la derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.

Regla 2.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto es diferenciable en el mismo punto

y

aquellos. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Corolario 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.:

Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada factor y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

Regla 3.Si las funciones

diferenciable en algún momento Y , entonces en este punto su cociente también es derivableu/v, y

aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el antiguo numerador.

Dónde buscar cosas en otras páginas.

A la hora de encontrar la derivada de un producto y un cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por eso hay más ejemplos sobre estas derivadas en el artículo."Derivada del producto y cociente de funciones".

Comentario.¡No debes confundir una constante (es decir, un número) con un término de una suma y con un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se quita del signo de las derivadas. Este error tipico, que ocurre en etapa inicial estudiar derivadas, pero a medida que resolvemos varios ejemplos de una y dos partes estudiante promedio Ya no comete este error.

Y si al diferenciar un producto o cociente se tiene un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por tanto, todo el término será igual a cero (este caso se analiza en el ejemplo 10).

Otro Error común- solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja Se dedica un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de transformar las expresiones. Para hacer esto, es posible que necesites abrir el manual en ventanas nuevas. Acciones con poderes y arraigo Y Operaciones con fracciones .

Si buscas soluciones a derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve así , luego sigue la lección “Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces”.

Si tienes una tarea como , luego tomarás la lección “Derivadas de funciones trigonométricas simples”.

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Definimos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa un producto y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma el segundo término tiene un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "X" se convierte en uno y menos 5 se convierte en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivada:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para derivar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el ejemplo 2. No olvidemos tampoco que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:

Si buscas soluciones a problemas en los que necesitas encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, , entonces bienvenido a clase "Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesitas aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otros funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se parece , entonces una lección para ti "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada conocemos en la tabla de derivadas. Usando la regla para derivar el producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un cociente cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Usando la regla de diferenciación de cocientes, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabulado de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para eliminar una fracción en el numerador, multiplica el numerador y el denominador por.

En el que examinamos las derivadas más simples y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunas técnicas técnicas para encontrar derivadas. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, primero lee la lección anterior. Por favor, póngase serio: el material no es sencillo, pero intentaré presentarlo de forma sencilla y clara.

En la práctica con derivada. función compleja Tienes que enfrentarte muy a menudo, incluso diría, casi siempre, cuando te asignan tareas para encontrar derivadas.

Miramos la tabla de la regla (No. 5) para derivar una función compleja:

Vamos a resolverlo. En primer lugar, prestemos atención a la entrada. Aquí tenemos dos funciones: y, y la función, en sentido figurado, está anidada dentro de la función. Una función de este tipo (cuando una función está anidada dentro de otra) se llama función compleja.

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño final de las tareas. Utilizo expresiones informales “función externa”, función “interna” sólo para facilitarle la comprensión del material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función.

Debajo del seno no solo tenemos la letra "X", sino una expresión completa, por lo que no funcionará encontrar la derivada directamente de la tabla. También notamos que aquí es imposible aplicar las primeras cuatro reglas, parece haber una diferencia, pero lo cierto es que el seno no se puede “romper en pedazos”:

EN en este ejemplo De mis explicaciones ya queda intuitivamente claro que una función es una función compleja y un polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

Primer paso Lo que hay que hacer para encontrar la derivada de una función compleja es Entender qué función es interna y cuál es externa..

Cuando ejemplos simples Parece claro que un polinomio está incluido debajo del seno. Pero ¿y si no todo es obvio? ¿Cómo determinar con precisión qué función es externa y cuál es interna? Para ello, sugiero utilizar la siguiente técnica, que se puede realizar mentalmente o en un borrador.

Imaginemos que necesitamos calcular el valor de la expresión en en una calculadora (en lugar de una puede haber cualquier número).

¿Qué calcularemos primero? En primer lugar deberás realizar la siguiente acción: , por lo tanto el polinomio será una función interna:

En segundo lugar será necesario encontrar, por lo que seno – será una función externa:

Después de que nosotros AGOTADO con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones complejas .

Empecemos a decidir. De la lección ¿Cómo encontrar la derivada? Recordamos que el diseño de una solución para cualquier derivada siempre comienza así: encerramos la expresión entre paréntesis y ponemos un trazo en la parte superior derecha:

En primer lugar encontramos la derivada de la función externa (seno), miramos la tabla de derivadas de funciones elementales y notamos que . Todas las fórmulas de la tabla también son aplicables si "x" se reemplaza con una expresión compleja, V. en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado de aplicar la fórmula. en su forma final se ve así:

El factor constante suele colocarse al principio de la expresión:

Si hay algún malentendido, anota la solución en un papel y vuelve a leer las explicaciones.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función.

Como siempre, anotamos:

Averigüemos dónde tenemos una función externa y dónde tenemos una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión en . ¿Qué deberías hacer primero? En primer lugar, debes calcular a qué es igual la base: por lo tanto, el polinomio es la función interna:

Y solo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función de potencia es una función externa:

Según la fórmula , primero necesitas encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Buscamos la fórmula requerida en la tabla: . Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no sólo para "X", sino también para una expresión compleja. Por tanto, el resultado de aplicar la regla para derivar una función compleja próximo:

Vuelvo a enfatizar que cuando tomamos la derivada de la función externa, nuestra función interna no cambia:

Ahora todo lo que queda es encontrar una derivada muy simple de la función interna y modificar un poco el resultado:

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para decisión independiente(respuesta al final de la lección).

Para consolidar su comprensión de la derivada de una función compleja, le daré un ejemplo sin comentarios, intente resolverlo usted mismo, por qué está la función externa y dónde está la función interna, ¿por qué las tareas se resuelven de esta manera?

Ejemplo 5

a) Encuentra la derivada de la función.

b) Encuentra la derivada de la función.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función.

Aquí tenemos una raíz, y para diferenciar la raíz hay que representarla como una potencia. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma apropiada para la diferenciación:

Analizando la función, llegamos a la conclusión de que la suma de los tres términos es una función interna y la elevación a una potencia es una función externa. Aplicamos la regla de diferenciación de funciones complejas. :

Nuevamente representamos el grado como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna aplicamos una regla simple para derivar la suma:

Listo. También puedes reducir la expresión a un denominador común entre paréntesis y escribir todo como una fracción. Es hermoso, por supuesto, pero cuando obtienes derivadas largas y engorrosas, es mejor no hacer esto (es fácil confundirse, cometer un error innecesario y será un inconveniente para el maestro verificarlo).

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces en lugar de la regla para derivar una función compleja, puedes usar la regla para derivar un cociente. , pero tal solución parecerá una perversión inusual. Aquí ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encuentra la derivada de una función.

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente. , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de derivación de una función compleja:

Preparamos la función para la derivación: sacamos el menos del signo de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla :

Encontramos la derivada de la función interna y restablecemos el coseno nuevamente:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse con los signos. Por cierto, intenta resolverlo usando la regla. , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora hemos visto casos en los que sólo teníamos un anidamiento en una función compleja. En tareas prácticas, a menudo se pueden encontrar derivados en los que, como muñecos encajables, uno dentro del otro, se anidan 3 o incluso 4-5 funciones a la vez.

Ejemplo 10

Encuentra la derivada de una función.

Entendamos los archivos adjuntos de esta función. Intentemos calcular la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar , lo que significa que el arcoseno es la incrustación más profunda:

Este arcoseno de uno debe entonces elevarse al cuadrado:

Y por último elevamos siete a una potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos incrustaciones, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empecemos a decidir

En concordancia con reglas Primero debes tomar la derivada de la función externa. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de “x” tenemos expresión compleja, lo que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla para derivar una función compleja próximo.

Derivación de la fórmula para la derivada de una función potencia (x elevado a a). Se consideran las derivadas de raíces de x. Fórmula para la derivada de una función potencia de orden superior. Ejemplos de cálculo de derivadas.

La derivada de x elevado a a es igual a a multiplicado por x elevado a a menos uno:
(1) .

La derivada de la raíz enésima de x elevada a la mésima es:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de una función de potencia.

Caso x > 0

Considere una función potencia de la variable x con exponente a:
(3) .
Aquí a es un número real arbitrario. Consideremos primero el caso.

Para encontrar la derivada de la función (3), usamos las propiedades de una función potencia y la transformamos a la siguiente forma:
.

Ahora encontramos la derivada usando:
;
.
Aquí .

La fórmula (1) ha sido probada.

Derivación de la fórmula para la derivada de una raíz de grado n de x al grado de m

Ahora considere una función que es la raíz de la siguiente forma:
(4) .

Para encontrar la derivada, transformamos la raíz a una función potencia:
.
Comparando con la fórmula (3) vemos que
.
Entonces
.

Usando la fórmula (1) encontramos la derivada:
(1) ;
;
(2) .

En la práctica, no es necesario memorizar la fórmula (2). Es mucho más conveniente transformar primero las raíces en funciones potencias y luego encontrar sus derivadas usando la fórmula (1) (ver ejemplos al final de la página).

Caso x = 0

Si , entonces la función potencia está definida para el valor de la variable x = 0 . Encontremos la derivada de la función (3) en x = 0 . Para hacer esto, utilizamos la definición de derivada:
.

Sustituyamos x = 0 :
.
En este caso, por derivada nos referimos al límite derecho para el cual .

Entonces encontramos:
.
De esto queda claro que para , .
En , .
En , .
Este resultado también se obtiene de la fórmula (1):
(1) .
Por lo tanto, la fórmula (1) también es válida para x = 0 .

Caso x< 0

Considere la función (3) nuevamente:
(3) .
Para ciertos valores de la constante a, también se define para valores negativos variablex. Es decir, sea a un número racional. Entonces se puede representar como una fracción irreducible:
,
donde m y n son números enteros sin común divisor.

Si n es impar, entonces la función de potencia también se define para valores negativos de la variable x. Por ejemplo, cuando n = 3 y metro = 1 tenemos la raíz cúbica de x:
.
También se define para valores negativos de la variable x.

Encontremos la derivada de la función potencia (3) para y para valores racionales de la constante a para la que está definida. Para hacer esto, imagine x en la siguiente forma:
.
Entonces ,
.
Encontramos la derivada colocando la constante fuera del signo de la derivada y aplicando la regla para derivar una función compleja:

.
Aquí . Pero
.
Desde entonces
.
Entonces
.
Es decir, la fórmula (1) también es válida para:
(1) .

Derivados de orden superior

Ahora encontremos derivadas de orden superior de la función de potencia.
(3) .
Ya hemos encontrado la derivada de primer orden:
.

Tomando la constante a fuera del signo de la derivada, encontramos la derivada de segundo orden:
.
De manera similar, encontramos derivadas de tercer y cuarto orden:
;

.

De esto queda claro que derivada de enésimo orden arbitrario tiene la siguiente forma:
.

Darse cuenta de si un es número natural , entonces la enésima derivada es constante:
.
Entonces todas las derivadas posteriores son iguales a cero:
,
en .

Ejemplos de cálculo de derivados.

Ejemplo

Encuentra la derivada de la función:
.

Solución

Convirtamos raíces en potencias:
;
.
Entonces la función original toma la forma:
.

Encontrar derivadas de potencias:
;
.
La derivada de la constante es cero:
.