Propiedades de los logaritmos naturales de la fórmula. Logaritmo. Definición de logaritmo binario, logaritmo natural, logaritmo decimal; función exponencial exp(x), número e. Log LN. Fórmulas de potencias y logaritmos. Usando logaritmo, decibeles

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres especies individuales expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), fila superior números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Dada una expresión de la siguiente forma: log 2 (x-1) > 3 - es desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (ejemplo: logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver desigualdades, se definen como una región. valores aceptables y los puntos de interrupción de esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso requisito previo es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o conducir a apariencia general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

Al decidir ecuaciones logarítmicas, debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o decimal.

A continuación se muestran ejemplos de ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario expandir gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y soluciones a los problemas están tomados de fuentes oficiales. Opciones del examen estatal unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

1.1. Determinar el exponente de un exponente entero

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N veces

1.2. Grado cero.

Por definición, generalmente se acepta que la potencia cero de cualquier número es 1:

1.3. Grado negativo.

X -N = 1/XN

1.4. Potencia fraccionaria, raíz.

X 1/N = N raíz de X.

Por ejemplo: X 1/2 = √X.

1.5. Fórmula para sumar potencias.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Fórmula para restar potencias.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Fórmula para multiplicar potencias.

X N*M = (X N) M

1.8. Fórmula para elevar una fracción a una potencia.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Número e.

El valor del número e es igual al siguiente límite:

E = lim(1+1/N), como N → ∞.

Con una precisión de 17 dígitos, el número e es 2,71828182845904512.

3. La igualdad de Euler.

Esta igualdad conecta cinco números que juegan un papel especial en matemáticas: 0, 1, e, pi, unidad imaginaria.

mi (i*pi) + 1 = 0

4. Función exponencial exp(x)

exp(x) = e x

5. Derivada de función exponencial

La función exponencial tiene una propiedad notable: la derivada de la función es igual a sí misma. funcion exponencial:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritmo.

6.1. Definición de la función logaritmo

Si x = b y, entonces el logaritmo es la función

Y = Iniciar sesiónb(x).

El logaritmo muestra a qué potencia se debe elevar un número: la base del logaritmo (b) para obtener un número determinado (X). La función logaritmo se define para X mayor que cero.

Por ejemplo: Registro 10 (100) = 2.

6.2. logaritmo decimal

Este es el logaritmo en base 10:

Y = Iniciar sesión 10 (x).

Denotado por Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Un ejemplo del uso del logaritmo decimal es el decibelio.

6.3. Decibel

El elemento está resaltado en una página separada. Decibelios

6.4. Logaritmo binario

Este es el logaritmo en base 2:

Y = Registro 2 (x).

Denotado por Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritmo natural

Este es el logaritmo en base e:

Y = Log e (x) .

Denotado por Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
El logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial exp(X).

6.6. Puntos característicos

Loga(1) = 0
Registro a (a) = 1

6.7. Fórmula del logaritmo del producto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Fórmula para el logaritmo del cociente

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logaritmo de la fórmula de potencia.

Iniciar sesión a (x y) = y* Iniciar sesión a (x)

6.10. Fórmula para convertir a un logaritmo con diferente base

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Ejemplo:

Registro 2 (8) = Registro 10 (8)/Registro 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Fórmulas útiles en la vida.

A menudo surgen problemas al convertir el volumen en área o longitud y el problema inverso: convertir el área en volumen. Por ejemplo, los tableros se venden en cubos (metros cúbicos), y necesitamos calcular cuánta área de pared se puede cubrir con los tableros contenidos en un volumen determinado; consulte cálculo de tableros, cuántos tableros hay en un cubo. O, si se conocen las dimensiones de la pared, es necesario calcular la cantidad de ladrillos, consulte cálculo de ladrillos.

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a menudo toma un número mi = 2,718281828 . Los logaritmos basados ​​en esta base se llaman natural. Al realizar cálculos con logaritmos naturales, es común operar con el signo yonorte, pero no registro; mientras que el número 2,718281828 , que definen la base, no están indicados.

En otras palabras, la formulación quedará así: logaritmo natural números X- este es un exponente al que se debe elevar un número mi, Para obtener X.

Entonces, En(7.389...)= 2, ya que mi 2 =7,389... . Logaritmo natural del número mismo. mi= 1 porque mi 1 =mi, y el logaritmo natural de la unidad es cero, ya que mi 0 = 1.

El número en sí mi define el límite de una secuencia acotada monótona

calculó que mi = 2,7182818284... .

Muy a menudo, para fijar un número o cifra en la memoria. numero requerido asociado a alguna fecha destacada. Velocidad de memorización de los primeros nueve dígitos de un número mi después del punto decimal aumentará si observa que 1828 es el año de nacimiento de León Tolstoi.

Hoy en día existen tablas bastante completas de logaritmos naturales.

Gráfico de logaritmo natural(funciones y=en x) es una consecuencia de que la gráfica del exponente es una imagen especular de la línea recta y = x y tiene la forma:

El logaritmo natural se puede encontrar para todo número real positivo. a como el área bajo la curva y = 1/X de 1 antes a.

La naturaleza elemental de esta formulación, que es coherente con muchas otras fórmulas en las que interviene el logaritmo natural, fue la razón por la que se formó el nombre de "natural".

si analizas logaritmo natural, como función real de una variable real, entonces actúa función inversa a una función exponencial, que se reduce a las identidades:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Por analogía con todos los logaritmos, el logaritmo natural convierte la multiplicación en suma y la división en resta:

en(xy) = en(X) + en(y)

en(x/y)= lnx - lny

El logaritmo se puede encontrar para cada base positiva que no sea igual a uno, no solo para mi, pero los logaritmos para otras bases difieren del logaritmo natural sólo por un factor constante y generalmente se definen en términos del logaritmo natural.

habiendo analizado gráfico de logaritmo natural, encontramos que existe para valores positivos de la variable X. Aumenta monótonamente en su dominio de definición.

En X → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito ( -∞ ).En x → +∞ el límite del logaritmo natural es más infinito ( + ∞ ). En general X El logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia xa con exponente positivo a aumenta más rápido que el logaritmo. El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos.

Uso logaritmos naturales muy racional al aprobar matemáticas superiores. Por tanto, utilizar el logaritmo es conveniente para encontrar la respuesta a ecuaciones en las que las incógnitas aparecen como exponentes. El uso de logaritmos naturales en los cálculos permite simplificar enormemente un gran número de fórmulas matemáticas. Logaritmos a la base mi están presentes en la resolución de un número significativo de problemas físicos y, naturalmente, se incluyen en la descripción matemática de procesos químicos, biológicos y de otro tipo individuales. Así, los logaritmos se utilizan para calcular la constante de desintegración para una vida media conocida, o para calcular el tiempo de desintegración al resolver problemas de radiactividad. Ellos actúan en papel principal en muchas ramas de las matemáticas y las ciencias prácticas, se recurre a ellos en el campo de las finanzas para resolver gran número tareas, incluido el cálculo del interés compuesto.

Logaritmo de un número dado se llama exponente al que se debe elevar otro número, llamado base logaritmo para obtener este número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 100 es 2. En otras palabras, se debe elevar 10 al cuadrado para obtener 100 (10 2 = 100). Si norte– un número dado, b– base y yo– logaritmo, entonces segundo l = norte. Número norte también llamado antilogaritmo base b números yo. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es igual a 100. Esto se puede escribir en forma de registro de relaciones bn = yo y antilogaritmo bl = norte.

Propiedades básicas de los logaritmos:

Cualquier numero positivo, excepto la unidad, puede servir como base para los logaritmos, pero, desafortunadamente, resulta que si b Y norte son números racionales, entonces en casos raros existe un número tan racional yo, Qué segundo l = norte. Sin embargo, es posible determinar numero irracional yo, por ejemplo, tal que 10 yo= 2; este es un numero irracional yo puede aproximarse con cualquier precisión requerida mediante números racionales. Resulta que en el ejemplo dado yo es aproximadamente igual a 0,3010, y esta aproximación del logaritmo en base 10 de 2 se puede encontrar en tablas de logaritmos decimales de cuatro dígitos. Los logaritmos de base 10 (o logaritmos de base 10) se utilizan con tanta frecuencia en los cálculos que se denominan común logaritmos y se escribe como log2 = 0,3010 o log2 = 0,3010, omitiendo la indicación explícita de la base del logaritmo. Logaritmos a la base mi, un número trascendental aproximadamente igual a 2,71828, se llaman natural logaritmos. Se encuentran principalmente en trabajos sobre análisis matemático y sus aplicaciones a diversas ciencias. Los logaritmos naturales también se escriben sin indicar explícitamente la base, pero usando la notación especial ln: por ejemplo, ln2 = 0,6931, porque mi 0,6931 = 2.

Utilizando tablas de logaritmos ordinarios.

El logaritmo regular de un número es un exponente al que se debe elevar 10 para obtener un número determinado. Como 10 0 = 1, 10 1 = 10 y 10 2 = 100, inmediatamente obtenemos que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. para potencias enteras crecientes 10. Asimismo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 y por lo tanto log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. para todas las potencias enteras negativas 10. Los logaritmos habituales de los números restantes están encerrados entre los logaritmos de las potencias enteras más cercanas de 10; log2 debe estar entre 0 y 1, log20 debe estar entre 1 y 2 y log0.2 debe estar entre -1 y 0. Por lo tanto, el logaritmo consta de dos partes, un número entero y decimal, encerrado entre 0 y 1. La parte entera se llama característica logaritmo y está determinado por el número mismo, la parte fraccionaria se llama mantisa y se puede encontrar en las tablas. Además, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. El logaritmo de 2 es 0,3010, por lo que log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De manera similar, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Después de la resta, obtenemos log0.2 = – 0.6990. Sin embargo, es más conveniente representar log0,2 como 0,3010 – 1 o como 9,3010 – 10; se puede formular y regla general: todos los números obtenidos de un número dado multiplicando por una potencia de 10 tienen la misma mantisa, igual a la mantisa numero dado. La mayoría de las tablas muestran las mantisas de números en el rango del 1 al 10, ya que las mantisas de todos los demás números se pueden obtener a partir de las que figuran en la tabla.

La mayoría de las tablas dan logaritmos con cuatro o cinco decimales, aunque hay tablas de siete dígitos y tablas con incluso más decimales. La forma más sencilla de aprender a utilizar este tipo de tablas es con ejemplos. Para encontrar log3.59, primero que nada, observamos que el número 3.59 está entre 10 0 y 10 1, por lo que su característica es 0. Buscamos el número 35 (a la izquierda) en la tabla y nos movemos a lo largo de la fila hasta el columna que tiene el número 9 en la parte superior; la intersección de esta columna y la fila 35 es 5551, por lo que log3,59 = 0,5551. Para encontrar la mantisa de un número con cuatro dígitos significativos, debes usar la interpolación. En algunos cuadros, la interpolación se ve facilitada por las proporciones dadas en las últimas nueve columnas en el lado derecho de cada página de los cuadros. Busquemos ahora log736.4; el número 736,4 se encuentra entre 10 2 y 10 3, por lo tanto la característica de su logaritmo es 2. En la tabla encontramos una fila a la izquierda de la cual está 73 y la columna 6. En la intersección de esta fila y esta columna hay el número 8669. Entre las partes lineales encontramos la columna 4. En la intersección de la fila 73 y la columna 4 está el número 2. Sumando 2 a 8669, obtenemos la mantisa: es igual a 8671. Por lo tanto, log736,4. = 2,8671.

Logaritmos naturales.

Las tablas y propiedades de los logaritmos naturales son similares a las tablas y propiedades de los logaritmos ordinarios. La principal diferencia entre ambos es que la parte entera del logaritmo natural no es significativa para determinar la posición de la coma decimal y, por tanto, la diferencia entre la mantisa y la característica no juega un papel especial. Logaritmos naturales de números 5,432; 54,32 y 543,2 son iguales a 1,6923, respectivamente; 3,9949 y 6,2975. La relación entre estos logaritmos será obvia si consideramos las diferencias entre ellos: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; el último número no es más que el logaritmo natural del número 10 (escrito así: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; el último número es 2ln10. Pero 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Así, por el logaritmo natural de un número dado a puedes encontrar los logaritmos naturales de números iguales a los productos del número a para cualquier grado norte números 10 si a ln a sumar ln10 multiplicado por norte, es decir. en( aґ10norte) = iniciar sesión a + norte ln10 = ln a + 2,3026norte. Por ejemplo, ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Por lo tanto, las tablas de logaritmos naturales, como las tablas de logaritmos ordinarios, generalmente contienen solo logaritmos de números del 1 al 10. En el sistema de logaritmos naturales, se puede hablar de antilogaritmos, pero más a menudo se habla de una función exponencial o un exponente. Si X= iniciar sesión y, Eso y = ex, Y y llamado exponente de X(por conveniencia tipográfica, a menudo escriben y= exp. X). El exponente juega el papel del antilogaritmo del número. X.

Usando tablas de logaritmos decimales y naturales, puede crear tablas de logaritmos en cualquier base que no sea 10 y mi. Si inicia sesión b un = X, Eso b x = a, y por lo tanto iniciar sesión c b x= iniciar sesión c un o X registro c b= iniciar sesión c un, o X= iniciar sesión c un/registro c b= iniciar sesión b un. Por lo tanto, usando esta fórmula de inversión de la tabla de logaritmos base C Puedes construir tablas de logaritmos en cualquier otra base. b. Multiplicador 1/log c b llamado módulo de transición desde la base C a la base b. Nada impide, por ejemplo, utilizar la fórmula de inversión o la transición de un sistema de logaritmos a otro, encontrar logaritmos naturales de la tabla de logaritmos ordinarios o realizar la transición inversa. Por ejemplo, log105.432 = iniciar sesión mi 5,432/registro mi 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. El número 0,4343, por el cual se debe multiplicar el logaritmo natural de un número dado para obtener un logaritmo ordinario, es el módulo de transición al sistema de logaritmos ordinarios.

Mesas especiales.

Los logaritmos se inventaron originalmente para que, utilizando sus propiedades log ab= iniciar sesión a+ iniciar sesión b y registrar a/b= iniciar sesión a- registro b, convierte productos en sumas y cocientes en diferencias. En otras palabras, si inicia sesión a y registrar b son conocidos, entonces usando la suma y la resta podemos encontrar fácilmente el logaritmo del producto y el cociente. En astronomía, sin embargo, a menudo se dan valores de log a y registrar b necesito encontrar el registro ( a + b) o iniciar sesión ( a – b). Por supuesto, primero se podría encontrar en tablas de logaritmos a Y b, luego realice la suma o resta indicada y, volviendo a las tablas, encuentre los logaritmos requeridos, pero tal procedimiento requeriría consultar las tablas tres veces. Z. Leonelli publicó tablas de los llamados en 1802. logaritmos gaussianos– logaritmos para sumar sumas y diferencias – lo que permitió limitarse a un acceso a las tablas.

En 1624, I. Kepler propuso tablas de logaritmos proporcionales, es decir. logaritmos de números a/X, Dónde a– algún valor constante positivo. Estas tablas son utilizadas principalmente por astrónomos y navegantes.

Logaritmos proporcionales en a= 1 se llaman por logaritmos y se utilizan en cálculos cuando se tiene que tratar con productos y cocientes. Cologaritmo de un número norte igual al logaritmo número recíproco; aquellos. cologio norte= registro1/ norte= – iniciar sesión norte. Si log2 = 0,3010, entonces colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. La ventaja de utilizar cologaritmos es que al calcular el valor del logaritmo de expresiones como pq/r triple suma de decimales positivos log pag+ iniciar sesión q+cologo r es más fácil de encontrar que el registro mixto de suma y diferencia pag+ iniciar sesión q- registro r.

Historia.

El principio subyacente a cualquier sistema de logaritmos se conoce desde hace mucho tiempo y se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas (alrededor del año 2000 a. C.). En aquellos días, la interpolación entre valores de tabla de números enteros. grados positivos Se utilizaron números enteros para calcular el interés compuesto. Mucho más tarde, Arquímedes (287-212 a. C.) utilizó potencias de 108 para encontrar un límite superior en la cantidad de granos de arena necesarios para llenar completamente el Universo entonces conocido. Arquímedes llamó la atención sobre la propiedad de los exponentes que subyace a la eficacia de los logaritmos: el producto de potencias corresponde a la suma de los exponentes. Al final de la Edad Media y principios de la era moderna, los matemáticos comenzaron a recurrir cada vez más a la relación entre progresiones geométricas y aritméticas. M. Stiefel en su ensayo Aritmética de enteros(1544) dio una tabla de potencias positivas y negativas del número 2:

Stiefel notó que la suma de los dos números en la primera fila (la fila de exponentes) es igual al exponente de dos correspondiente al producto de los dos números correspondientes en la fila inferior (la fila de exponentes). En relación con esta tabla, Stiefel formuló cuatro reglas equivalentes a las cuatro reglas modernas para operaciones con exponentes o a las cuatro reglas para operaciones con logaritmos: la suma de la línea superior corresponde al producto de la línea inferior; la resta en la línea superior corresponde a la división en la línea inferior; la multiplicación en la línea superior corresponde a la exponenciación en la línea inferior; la división en la línea superior corresponde al enraizamiento en la línea inferior.

Al parecer, reglas similares a las de Stiefel llevaron a J. Naper a introducir formalmente en su obra el primer sistema de logaritmos. Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos., publicado en 1614. Pero los pensamientos de Napier estaban ocupados con el problema de convertir productos en sumas desde entonces, más de diez años antes de la publicación de su trabajo, Napier recibió noticias de Dinamarca de que en el Observatorio Tycho Brahe sus asistentes tenían un método que hacía Es posible convertir productos en sumas. El método mencionado en el mensaje que recibió Napier se basó en el uso fórmulas trigonométricas tipo

por lo tanto, las tablas de Naper consistían principalmente en logaritmos funciones trigonométricas. Aunque el concepto de base no fue incluido explícitamente en la definición propuesta por Napier, el papel equivalente a la base del sistema de logaritmos en su sistema lo desempeñaba el número (1 – 10 –7)´10 7, aproximadamente igual a 1/ mi.

Independientemente de Naper y casi simultáneamente con él, J. Bürgi inventó y publicó en Praga un sistema de logaritmos, de tipo bastante similar, publicado en 1620. Tablas de progresión aritmética y geométrica.. Estas eran tablas de antilogaritmos en base (1 + 10 –4) ґ10 4, una aproximación bastante buena del número mi.

En el sistema de Naper, el logaritmo del número 10 7 se tomaba como cero y, a medida que los números disminuían, los logaritmos aumentaban. Cuando G. Briggs (1561-1631) visitó Napier, ambos coincidieron en que sería más conveniente utilizar el número 10 como base y considerar el logaritmo de uno como cero. Luego, a medida que los números aumentaran, sus logaritmos aumentarían. Así que tenemos sistema moderno logaritmos decimales, una tabla de la cual Briggs publicó en su trabajo Aritmética logarítmica(1620). Logaritmos a la base mi, aunque no son exactamente los introducidos por Naper, a menudo se les llama Naper. Briggs propuso los términos "característica" y "mantisa".

Los primeros logaritmos, por razones históricas, utilizaban aproximaciones a los números 1/ mi Y mi. Un poco más tarde, la idea de los logaritmos naturales empezó a asociarse con el estudio de áreas bajo una hipérbola. xy= 1 (figura 1). En el siglo 17 se demostró que el área delimitada por esta curva, el eje X y ordenadas X= 1 y X = a(en la Fig. 1 esta área está cubierta con puntos más gruesos y escasos) aumenta en progresión aritmética, Cuando a aumenta en progresión geométrica. Es precisamente esta dependencia la que surge en las reglas para operaciones con exponentes y logaritmos. Esto dio lugar a llamar a los logaritmos de Naperia "logaritmos hiperbólicos".

Función logarítmica.

Hubo un tiempo en que los logaritmos se consideraban únicamente como un medio de cálculo, pero en el siglo XVIII, principalmente gracias a los trabajos de Euler, se formó el concepto. función logarítmica. Gráfica de tal función. y= iniciar sesión X, cuyas ordenadas aumentan en progresión aritmética, mientras que las abscisas aumentan en progresión geométrica, se presenta en la Fig. 2, A. Gráfica de una función inversa o exponencial y = e x, cuyas ordenadas aumentan en progresión geométrica y cuyas abscisas aumentan en progresión aritmética, se presentan, respectivamente, en la Fig. 2, b. (Curvas y= iniciar sesión X Y y = 10X similar en forma a las curvas y= iniciar sesión X Y y = ex.) También se han propuesto definiciones alternativas de la función logarítmica, p.

kpi; y, de manera similar, los logaritmos naturales del número -1 son números complejos de la forma (2 k + 1)Pi, Dónde k– un número entero. Afirmaciones similares son válidas para los logaritmos generales u otros sistemas de logaritmos. Además, la definición de logaritmos se puede generalizar utilizando las identidades de Euler para incluir logaritmos complejos de números complejos.

El análisis funcional proporciona una definición alternativa de función logarítmica. Si F(X) – función continua de un número real X, teniendo las siguientes tres propiedades: F (1) = 0, F (b) = 1, F (ultravioleta) = F (tu) + F (v), Eso F(X) se define como el logaritmo del número X Residencia en b. Esta definición tiene una serie de ventajas sobre la definición dada al principio de este artículo.

Aplicaciones.

Los logaritmos se utilizaron originalmente únicamente para simplificar los cálculos y esta aplicación sigue siendo una de las más importantes. El cálculo de productos, cocientes, potencias y raíces se ve facilitado no sólo por la amplia disponibilidad de tablas de logaritmos publicadas, sino también por el uso de las llamadas. regla de cálculo: una herramienta computacional cuyo principio de funcionamiento se basa en las propiedades de los logaritmos. La regla está equipada con escalas logarítmicas, es decir. distancia del número 1 a cualquier número X elegido para ser igual a log X; Al desplazar una escala con respecto a otra, es posible trazar las sumas o diferencias de logaritmos, lo que permite leer directamente en la escala los productos o cocientes de los números correspondientes. También puedes aprovechar las ventajas de representar números en forma logarítmica. papel logarítmico para trazar gráficos (papel con escalas logarítmicas impresas en ambos ejes de coordenadas). Si una función satisface una ley potencial de la forma y = kxn, entonces su gráfica logarítmica parece una línea recta, porque registro y= iniciar sesión k + norte registro X– ecuación lineal con respecto a log y y registrar X. Por el contrario, si la gráfica logarítmica de alguna dependencia funcional parece una línea recta, entonces esta dependencia es potencia. El papel semilogarítmico (donde el eje y tiene una escala logarítmica y el eje x tiene una escala uniforme) es útil cuando necesitas identificar funciones exponenciales. Ecuaciones de la forma y = kb rx ocurren siempre que una cantidad, como una población, una cantidad de material radiactivo o un saldo bancario, disminuye o aumenta a un ritmo proporcional a los recursos disponibles. este momento número de habitantes, sustancia radiactiva o dinero. Si se traza tal dependencia en papel semilogarítmico, la gráfica se verá como una línea recta.

La función logarítmica surge en relación con una amplia variedad de formas naturales. Las flores de las inflorescencias de girasol están dispuestas en espirales logarítmicas, las conchas de los moluscos están retorcidas. Nautilo, cuernos de oveja montesa y picos de loro. Todas estas formas naturales pueden servir como ejemplos de una curva conocida como espiral logarítmica porque, en un sistema de coordenadas polares, su ecuación es r = aebq, o en r= iniciar sesión a + bq. Tal curva está descrita por un punto en movimiento, cuya distancia desde el polo aumenta en progresión geométrica, y el ángulo descrito por su vector de radio aumenta en progresión aritmética. La ubicuidad de tal curva, y por tanto de la función logarítmica, queda bien ilustrada por el hecho de que aparece en lugares tan distantes y completamente Varias áreas, como el contorno de una leva excéntrica y la trayectoria de unos insectos volando hacia la luz.

Logaritmo natural

Gráfica de la función logaritmo natural. La función se acerca lentamente al infinito positivo a medida que aumenta. X y rápidamente se acerca al infinito negativo cuando X tiende a 0 ("lento" y "rápido" en comparación con cualquier función de potencia de X).

Logaritmo natural es el logaritmo a la base , Dónde mi- una constante irracional igual a aproximadamente 2,718281 828. El logaritmo natural se suele escribir como ln( X), registro mi (X) o a veces simplemente iniciar sesión ( X), si la base mi implícito.

Logaritmo natural de un número X(Escrito como en(x)) es el exponente al que se debe elevar el número mi, Para obtener X. Por ejemplo, En(7.389...) es igual a 2 porque mi 2 =7,389... . Logaritmo natural del número mismo. mi (en(e)) es igual a 1 porque mi 1 = mi, y el logaritmo natural es 1 ( en(1)) es igual a 0 porque mi 0 = 1.

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo. a como el área bajo la curva y = 1/X de 1 a a. La simplicidad de esta definición, que es consistente con muchas otras fórmulas que usan el logaritmo natural, dio lugar al nombre "natural". Esta definición se puede ampliar a números complejos, como se analiza a continuación.

Si consideramos el logaritmo natural como función real de una variable real, entonces es la función inversa de la función exponencial, lo que lleva a las identidades:

Como todos los logaritmos, el logaritmo natural relaciona la multiplicación con la suma:

Así, la función logarítmica es un isomorfismo del grupo de números reales positivos respecto de la multiplicación por el grupo de números reales respecto de la suma, que se puede representar como una función:

El logaritmo se puede definir para cualquier base positiva distinta de 1, no solo mi, pero los logaritmos para otras bases difieren del logaritmo natural sólo por un factor constante y generalmente se definen en términos del logaritmo natural. Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones que involucran incógnitas como exponentes. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para encontrar la constante de desintegración para una vida media conocida o para encontrar el tiempo de desintegración al resolver problemas de radiactividad. Desempeñan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias aplicadas, y se utilizan en finanzas para resolver muchos problemas, incluida la búsqueda de interés compuesto.

Historia

La primera mención del logaritmo natural la hizo Nicholas Mercator en su obra. logaritmotecnia, publicado en 1668, aunque el profesor de matemáticas John Spidell compiló una tabla de logaritmos naturales allá por 1619. Anteriormente se llamaba logaritmo hiperbólico porque corresponde al área debajo de la hipérbola. A veces se le llama logaritmo de Napier, aunque el significado original de este término era algo diferente.

Convenciones de designación

El logaritmo natural normalmente se denota por “ln( X)", logaritmo en base 10 - vía "lg( X)", y otros motivos suelen indicarse explícitamente con el símbolo "log".

En muchos trabajos sobre matemáticas discretas, cibernética e informática, los autores utilizan la notación “log( X)" para logaritmos en base 2, pero esta convención no es generalmente aceptada y requiere aclaración ya sea en la lista de notaciones utilizadas o (en ausencia de dicha lista) mediante una nota a pie de página o un comentario cuando se usa por primera vez.

Los paréntesis alrededor del argumento de los logaritmos (si esto no conduce a una lectura errónea de la fórmula) generalmente se omiten, y cuando se eleva un logaritmo a una potencia, el exponente se asigna directamente al signo del logaritmo: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ en ( 3 )] 2 .

sistema angloamericano

Los matemáticos, estadísticos y algunos ingenieros suelen utilizar para denotar el logaritmo natural o “log( X)" o "ln( X)", y para denotar el logaritmo en base 10 - "log 10 ( X)».

Algunos ingenieros, biólogos y otros especialistas siempre escriben “ln( X)" (u ocasionalmente "log e ( X)") cuando se refieren al logaritmo natural, y la notación "log( X)" significan log 10 ( X).

registro mi Es un logaritmo "natural" porque ocurre automáticamente y aparece muy a menudo en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de la derivada de una función logarítmica:

si la base b es igual mi, entonces la derivada es simplemente 1/ X, y cuando X= 1 esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual la base mi Lo más natural del logaritmo es que se puede definir de forma bastante sencilla en términos de una integral simple o de una serie de Taylor, lo que no se puede decir de otros logaritmos.

Otras justificaciones de la naturalidad no están relacionadas con la notación. Por ejemplo, existen varias series simples con logaritmos naturales. Pietro Mengoli y Nicholas Mercator los llamaron logaritmo natural varias décadas hasta que Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e integral.

Definición

Formalmente en ( a) se puede definir como el área bajo la curva del gráfico 1/ X de 1 a a, es decir, como una integral:

Es verdaderamente un logaritmo porque satisface la propiedad fundamental del logaritmo:

Esto se puede demostrar suponiendo lo siguiente:

Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, puedes utilizar su expansión en serie de Taylor en la forma:

Para obtener mejor velocidad convergencia, podemos usar la siguiente identidad:

siempre que y = (X−1)/(X+1) y X > 0.

Para en( X), Dónde X> 1, cuanto más cerca esté el valor X a 1, entonces velocidad más rápida convergencia. Las identidades asociadas al logaritmo se pueden utilizar para lograr el objetivo:

Estos métodos se utilizaron incluso antes de la aparición de las calculadoras, para las cuales se utilizaron tablas numéricas y se realizaron manipulaciones similares a las descritas anteriormente.

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con gran cantidad números de precisión, la serie de Taylor no es eficiente porque su convergencia es lenta. Una alternativa es utilizar el método de Newton para invertir en una función exponencial cuya serie converge más rápidamente.

Una alternativa para una muy alta precisión El cálculo es la fórmula:

Dónde METRO denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4/s, y

metro elegido para que pag Se logran marcas de precisión. (En la mayoría de los casos, un valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se utiliza este método, se puede aplicar el inverso del logaritmo natural de Newton para calcular eficientemente la función exponencial. (Las constantes ln 2 y pi se pueden calcular previamente con la precisión deseada utilizando cualquiera de las series rápidamente convergentes conocidas).

Complejidad computacional

La complejidad computacional de los logaritmos naturales (usando la media aritmético-geométrica) es O( METRO(norte)en norte). Aquí norte es el número de dígitos de precisión para los cuales se debe evaluar el logaritmo natural, y METRO(norte) es la complejidad computacional de multiplicar dos norte-números de dígitos.

fracciones continuas

Aunque no existen fracciones continuas simples para representar un logaritmo, se pueden utilizar varias fracciones continuas generalizadas, entre ellas:

Logaritmos complejos

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo de la forma mi X para cualquier número complejo arbitrario X, en este caso una serie infinita con complejo X. Este funcion exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo, que tendrá la mayoría de las propiedades de los logaritmos ordinarios. Sin embargo, hay dos dificultades: no hay X, para cual mi X= 0, y resulta que mi 2πi = 1 = mi 0. Dado que la propiedad de la multiplicatividad es válida para una función exponencial compleja, entonces mi z = mi z+2nπi para todos los complejos z y entero norte.

El logaritmo no se puede definir en todo el plano complejo y, aun así, tiene varios valores: cualquier logaritmo complejo se puede sustituir por un logaritmo "equivalente" sumando cualquier múltiplo entero de 2. πi. El logaritmo complejo sólo puede tener un solo valor en una porción del plano complejo. Por ejemplo, en i = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, etc., y aunque i 4 = 1,4 registro i se puede definir como 2 πi, o 10 πi o −6 πi, etcétera.

ver también

• John Napier - inventor de los logaritmos

Notas

1. Matemáticas para la química física. - 3º. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Extracto de la página 9
2. J J O "Connor y E F Robertson El número e. Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas (septiembre de 2001). Archivado
3. Florian Cajori Una historia de las matemáticas, 5ª ed. - Librería AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martín Estimación de integrales mediante polinomios. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2012.