Expresiones complejas con fracciones. Procedimiento. Fracciones, operaciones con fracciones.

Fracción- una forma de representar un número en matemáticas. La barra de fracción indica la operación de división. Numerador la fracción se llama dividendo, y denominador- divisor. Por ejemplo, en una fracción el numerador es 5 y el denominador es 7.

Correcto Se llama fracción en la que el módulo del numerador es mayor que el módulo del denominador. Si una fracción es propia, entonces el módulo de su valor es siempre menor que 1. Todas las demás fracciones son equivocado.

La fracción se llama mezclado, si se escribe como un número entero y una fracción. Esto es lo mismo que la suma de este número y la fracción:

La propiedad principal de una fracción.

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambiará, es decir, por ejemplo,

Reducir fracciones a un denominador común

Para llevar dos fracciones a un denominador común, necesitas:

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.
2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.
3. Reemplaza los denominadores de ambas fracciones con su producto.

Operaciones con fracciones

Suma. Para sumar dos fracciones necesitas

1. Suma los nuevos numeradores de ambas fracciones y deja el denominador sin cambios.

Ejemplo:

Sustracción. Para restar una fracción de otra, necesitas

1. Reducir fracciones a un denominador común.
2. Resta el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y deja el denominador sin cambios.

Ejemplo:

Multiplicación. Para multiplicar una fracción por otra, multiplica sus numeradores y denominadores:

División. Para dividir una fracción por otra, multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:

En el artículo mostraremos cómo resolver fracciones utilizando ejemplos sencillos y comprensibles. Averigüemos qué es una fracción y consideremos resolviendo fracciones!

Concepto fracciones se introduce en el curso de matemáticas a partir del 6º grado de la escuela secundaria.

Las fracciones tienen la forma: ±X/Y, donde Y es el denominador, indica en cuántas partes se dividió el todo, y X es el numerador, indica en cuántas partes se tomaron. Para mayor claridad, tomemos un ejemplo con un pastel:

En el primer caso se cortó el bizcocho en partes iguales y se tomó la mitad, es decir 1/2. En el segundo caso, el bizcocho se cortó en 7 partes, de las cuales se tomaron 4 partes, es decir. 4/7.

Si la parte de dividir un número entre otro no es un número entero, se escribe como fracción.

Por ejemplo, la expresión 4:2 = 2 da un número entero, pero 4:7 no es divisible por un entero, por lo que esta expresión se escribe como una fracción 4/7.

En otras palabras fracción es una expresión que denota la división de dos números o expresiones, y que se escribe mediante una barra fraccionaria.

Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; si al revés, es una fracción impropia. Una fracción puede contener un número entero.

Por ejemplo, 5 enteros 3/4.

Esta entrada significa que para obtener el 6 completo falta una parte de cuatro.

Si quieres recordar, cómo resolver fracciones para sexto grado, Necesitas entender eso resolviendo fracciones Básicamente, todo se reduce a comprender algunas cosas simples.

• Una fracción es esencialmente una expresión de una fracción. Es decir, una expresión numérica de qué parte es un valor dado de un todo. Por ejemplo, la fracción 3/5 expresa que si dividimos un todo en 5 partes y el número de partes o partes de este todo es tres.
• La fracción puede ser menor que 1, por ejemplo 1/2 (o esencialmente la mitad), entonces es correcta. Si la fracción es mayor que 1, por ejemplo 3/2 (tres mitades o una y media), entonces es incorrecta y para simplificar la solución es mejor que seleccionemos la parte entera 3/2 = 1 entero 1 /2.
• Las fracciones son los mismos números que 1, 3, 10 e incluso 100, solo que los números no son números enteros sino fracciones. Puedes realizar con ellos las mismas operaciones que con los números. Contar fracciones no es más difícil, y más adelante ejemplos específicos lo mostraremos.

Cómo resolver fracciones. Ejemplos.

Se aplica una amplia variedad de operaciones aritméticas a las fracciones.

Reducir una fracción a un denominador común

Por ejemplo, debes comparar las fracciones 3/4 y 4/5.

Para resolver el problema, primero encontramos el mínimo común denominador, es decir número más pequeño, que es divisible sin resto por cada uno de los denominadores de las fracciones

Mínimo común denominador (4,5) = 20

Luego el denominador de ambas fracciones se reduce al mínimo común denominador.

Respuesta: 15/20

Sumar y restar fracciones

Si es necesario calcular la suma de dos fracciones, primero se llevan a un denominador común, luego se suman los numeradores, mientras el denominador permanece sin cambios. La diferencia entre fracciones se calcula de la misma forma, la única diferencia es que se restan los numeradores.

Por ejemplo, necesitas encontrar la suma de las fracciones 1/2 y 1/3.

Ahora encontremos la diferencia entre las fracciones 1/2 y 1/4.

Multiplicar y dividir fracciones

Aquí resolver fracciones no es difícil, aquí todo es bastante sencillo:

• Multiplicación: los numeradores y denominadores de fracciones se multiplican entre sí;
• División: primero obtenemos la fracción inversa de la segunda fracción, es decir Intercambiamos su numerador y denominador, luego de lo cual multiplicamos las fracciones resultantes.

Por ejemplo:

Eso es todo cómo resolver fracciones, Todo. Si todavía tienes alguna pregunta sobre resolviendo fracciones, si algo no te queda claro, escribe en los comentarios y definitivamente te responderemos.

Si eres profesor, es posible descargar la presentación para escuela primaria(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) le resultará útil.

Acordemos que "acciones con fracciones" en nuestra lección significarán acciones con fracciones ordinarias. Una fracción común es una fracción que tiene atributos como un numerador, una línea de fracción y un denominador. Esto distingue una fracción común de un decimal, que se obtiene a partir de una fracción común reduciendo el denominador a un múltiplo de 10. Decimal escrito con una coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria. Hablaremos de operaciones con fracciones ordinarias, ya que son las que mayores dificultades causan a los alumnos que han olvidado los conceptos básicos de este tema, tratado en la primera mitad del curso de matemáticas escolar. Al mismo tiempo, al transformar expresiones en matemáticas superiores, se utilizan principalmente operaciones con fracciones ordinarias. ¡Las abreviaturas de fracciones por sí solas valen la pena! Las fracciones decimales no causan ninguna dificultad particular. ¡Así que adelante!

Se dice que dos fracciones son iguales si.

Por ejemplo, desde

Las fracciones y (desde) y (desde) también son iguales.

Evidentemente ambas fracciones y son iguales. Esto significa que si multiplicas o divides el numerador y denominador de una fracción determinada por el mismo número natural, obtendrás una fracción igual a la dada: .

Esta propiedad se llama propiedad básica de una fracción.

La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos del numerador y denominador de una fracción. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por -1, obtenemos. Esto significa que el valor de una fracción no cambiará si se cambian los signos del numerador y del denominador al mismo tiempo. Si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, entonces la fracción cambiará de signo:

Reducir fracciones

Usando la propiedad básica de una fracción, puedes reemplazar una fracción dada con otra fracción que sea igual a la dada, pero con un numerador y denominador más pequeños. Esta sustitución se llama reducción de fracciones.

Tomemos, por ejemplo, una fracción. Los números 36 y 48 tienen los más grandes. común divisor 12. Entonces

.

En general, siempre es posible reducir una fracción si el numerador y el denominador no son números primos entre sí. Si el numerador y el denominador son números primos entre sí, entonces la fracción se llama irreducible.

Entonces, reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador de la fracción por un factor común. Todo lo anterior también se aplica a expresiones fraccionarias que contienen variables.

Ejemplo 1. Reducir fracción

Solución. Para factorizar el numerador, presentando primero el monomio - 5 xy como suma - 2 xy - 3xy, obtenemos

Para factorizar el denominador utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados:

Como resultado

.

Reducir fracciones a un denominador común

Sean dos fracciones y . Tienen diferentes denominadores: 5 y 7. Usando la propiedad básica de las fracciones, puedes reemplazar estas fracciones por otras que sean iguales a ellas, y de manera que las fracciones resultantes tengan los mismos denominadores. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 7, obtenemos

Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 5 obtenemos

Entonces, las fracciones se reducen a un denominador común:

.

Pero no lo es única decisión tarea dada: por ejemplo, estas fracciones también se pueden reducir a un denominador común de 70:

,

y en general a cualquier denominador divisible tanto por 5 como por 7.

Consideremos otro ejemplo: llevemos las fracciones y a un denominador común. Argumentando como en el ejemplo anterior, obtenemos

,

.

Pero en en este caso Puedes reducir fracciones a un denominador común que sea menor que el producto de los denominadores de estas fracciones. Encontremos el mínimo común múltiplo de los números 24 y 30: MCM(24, 30) = 120.

Como 120:4 = 5, para escribir una fracción con denominador 120, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 5, este número se llama factor adicional. Medio .

A continuación, obtenemos 120:30=4. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por un factor adicional de 4, obtenemos .

Entonces, estas fracciones se reducen a un denominador común.

El mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones es el mínimo común denominador posible.

Para expresiones fraccionarias que involucran variables, el denominador común es un polinomio que se divide por el denominador de cada fracción.

Ejemplo 2. Encuentra el denominador común de las fracciones y.

Solución. El denominador común de estas fracciones es un polinomio, ya que es divisible por ambos y. Sin embargo, este polinomio no es el único que puede ser denominador común de estas fracciones. También puede ser un polinomio. y polinomio y polinomio etc. Suelen tomar un denominador común tal que cualquier otro denominador común se divide por el elegido sin resto. Este denominador se llama mínimo común denominador.

En nuestro ejemplo, el mínimo común denominador es. Consiguió:

;

.

Pudimos reducir fracciones a su mínimo común denominador. Esto sucedió multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por y el numerador y denominador de la segunda fracción por . Los polinomios se denominan factores adicionales, respectivamente, para la primera y segunda fracción.

Sumar y restar fracciones

La suma de fracciones se define de la siguiente manera:

.

Por ejemplo,

.

Si b = d, Eso

.

Esto significa que para sumar fracciones con mismo denominador Basta con sumar los numeradores y dejar el denominador igual. Por ejemplo,

.

Si se suman fracciones con diferentes denominadores, luego generalmente reducen las fracciones al mínimo común denominador y luego suman los numeradores. Por ejemplo,

.

Ahora veamos un ejemplo de cómo sumar expresiones fraccionarias con variables.

Ejemplo 3. Convertir expresión a una fracción

.

Solución. Encontremos el mínimo común denominador. Para hacer esto, primero factorizamos los denominadores.

Multiplicar y dividir fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...

Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En el segundo (expresión de la derecha):

¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!

¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:

luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.

Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. Nota Consejo practico¡Y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras generales, ni buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en tu borrador que equivocarte al hacer cálculos mentales.

2. En ejemplos con diferentes tipos de fracciones, pasamos a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a ordinarias usando división por dos puntos (¡seguimos el orden de división!).

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que definitivamente debes resolver. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.

Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y volvimos a comprobar desde el principio hasta el último. Pero sólo Entonces mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...

Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

El numerador, y lo que se divide por es el denominador.

Para escribir una fracción, primero escribe el numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo del número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama línea de fracción. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Así, por ejemplo, la fracción “dos tercios” se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3 puedes encontrar: ⅔.

Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones al numerador es diferente. Escribe el resultado en el numerador del nuevo fracciones. Después de esto, multiplica los denominadores. Introduzca el valor total en el nuevo fracciones. Por ejemplo, ¿1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir una fracción entre otra, primero multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todas las acciones, primero “voltea” el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe aparecer en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fuentes:

• Problemas básicos de fracciones

Los números fraccionarios se pueden expresar en en diferentes formas valor exacto de la cantidad. Puedes hacer las mismas operaciones matemáticas con fracciones que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. para aprender a decidir fracciones, debemos recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un denominador común. Algunas operaciones aritméticas requieren que la parte fraccionaria del resultado se reduzca después de la ejecución.

Necesitará

• - calculadora

Instrucciones

Mire de cerca los números. Si entre las fracciones hay decimales e irregulares, a veces es más conveniente realizar primero operaciones con decimales y luego convertirlas a la forma irregular. Puedes traducir fracciones de esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y de abajo por un divisor. Las fracciones en las que se aísla una parte entera deben convertirse a la forma incorrecta multiplicándola por el denominador y sumando el numerador al resultado. Este valor se convertirá en el nuevo numerador. fracciones. Para seleccionar una parte entera a partir de una inicialmente incorrecta fracciones, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convertirá en el nuevo numerador, denominador. fracciones no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, se puede calcular la suma de 1 2/3 y 2 ¾:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma de partes de términos, enteras y fraccionarias por separado:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Vuelve a escribirlos usando el separador “:” y continúa con la división normal.

Para obtener el resultado final, reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en este caso. En este caso, debe haber números enteros encima y debajo de la línea.

nota

No realices aritmética con fracciones cuyos denominadores sean diferentes. Elige un número tal que al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por él, el resultado sea que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.

Consejo útil

Al grabar números fraccionarios El dividendo está escrito encima de la línea. Esta cantidad se designa como numerador de la fracción. El divisor o denominador de la fracción se escribe debajo de la línea. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz como fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, la fracción se llama decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera, separado por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar el cálculo, esta fracción siempre se puede escribir en forma incorrecta: 1 2/10 kg de patatas. Para simplificar, puedes reducir los valores del numerador y denominador dividiéndolos por un número entero. EN en este ejemplo Se puede dividir entre 2. El resultado será 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a realizar aritmética se presenten en la misma forma.