Dérivée d'une fonction complexe. Exemples de solutions
L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.
À la suite de la résolution des problèmes de recherche des dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées et des règles de différenciation précisément définies sont apparus . Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.
Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Ensuite, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.
Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire
À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "x" est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :
Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :
Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement éclaircies après familiarisation avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.
Tableau des dérivées de fonctions simples
| 1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire. | |
| 2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps | |
| 3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances. | |
| 4. Dérivée d'une variable à la puissance -1 | |
| 5. Dérivé racine carrée | |
| 6. Dérivée du sinus | |
| 7. Dérivée du cosinus |  |
| 8. Dérivée de la tangente |  |
| 9. Dérivée de cotangente |  |
| 10. Dérivée de l'arc sinus |  |
| 11. Dérivée de l'arccosinus |  |
| 12. Dérivée de l'arctangente |  |
| 13. Dérivée de l'arc cotangent |  |
| 14. Dérivée du logarithme népérien | |
| 15. Dérivée d'une fonction logarithmique |  |
| 16. Dérivée de l'exposant | |
| 17. Dérivé fonction exponentielle |
Règles de différenciation
| 1. Dérivée d'une somme ou d'une différence |  |
| 2. Dérivé du produit |  |
| 2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant | |
| 3. Dérivée du quotient |  |
| 4. Dérivée d'une fonction complexe |  |
Règle 1.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point
et
ceux. la dérivée d'une somme algébrique de fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.
Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.
Règle 2.Si les fonctions
sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point
et
ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.
Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:
Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.
Par exemple, pour trois multiplicateurs :
Règle 3.Si les fonctions
différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et
ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.
Où chercher des choses sur d'autres pages
Pour trouver la dérivée d'un produit et d'un quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, il y a donc plus d'exemples sur ces dérivées dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".
Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Ce erreur typique, qui se produit le stade initialétudier les dérivées, mais à mesure que nous résolvons plusieurs exemples en une ou deux parties élève moyen ne fait plus cette erreur.
Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).
Autre erreur commune- solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.
En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .
Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à 
, puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».
Si vous avez une tâche comme 
, alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».
Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée
Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :
Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs dérivées suivantes :
Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :
Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et de la dérivée du numérateur et du numérateur et de la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On a:
Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :
Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, 
, alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .
Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .
Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. En utilisant la règle de différenciation du produit et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction
Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :
Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance (x à la puissance de a). Les dérivées des racines de x sont considérées. Formule pour la dérivée d'une fonction puissance d'ordre supérieur. Exemples de calcul de dérivés.
La dérivée de x à la puissance a est égale à a fois x à la puissance moins un :
(1)
.
La dérivée de la nième racine de x à la mième puissance est :
(2)
.
Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance
Cas x > 0
Considérons une fonction puissance de la variable x d'exposant a :
(3)
.
Ici, a est un nombre réel arbitraire. Considérons d'abord le cas.
Pour trouver la dérivée de la fonction (3), nous utilisons les propriétés d'une fonction puissance et la transformons sous la forme suivante :
.
Maintenant, nous trouvons la dérivée en utilisant :
;
.
Ici .
La formule (1) a été prouvée.
Dérivation de la formule de la dérivée de la racine du degré n de x au degré de m
Considérons maintenant une fonction qui est la racine de la forme suivante :
(4)
.
Pour trouver la dérivée, nous transformons la racine en fonction puissance :
.
En comparant avec la formule (3), nous voyons que
.
Alors
.
En utilisant la formule (1), nous trouvons la dérivée :
(1)
;
;
(2)
.
En pratique, il n'est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de transformer d'abord les racines en fonctions puissances, puis de trouver leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir exemples en fin de page).
Cas x = 0
Si donc fonction de puissance est également défini pour la valeur de la variable x = 0
. Trouvons la dérivée de la fonction (3) en x = 0
. Pour ce faire, nous utilisons la définition d'une dérivée :
.
Remplaçons x = 0
:
.
Dans ce cas, par dérivée, nous entendons la limite droite pour laquelle .
Nous avons donc trouvé :
.
Il ressort clairement de cela que pour , .
À , .
À , .
Ce résultat est également obtenu à partir de la formule (1) :
(1)
.
Par conséquent, la formule (1) est également valable pour x = 0
.
Cas x< 0
Considérons à nouveau la fonction (3) :
(3)
.
Pour certaines valeurs de la constante a, elle est également définie pour valeurs négatives variable x. Autrement dit, soit a un nombre rationnel. On peut alors la représenter comme une fraction irréductible :
,
où m et n sont des entiers sans diviseur commun.
Si n est impair, alors la fonction puissance est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Par exemple, lorsque n = 3
et m = 1
on a la racine cubique de x :
.
Il est également défini pour les valeurs négatives de la variable x.
Trouvons la dérivée de la fonction puissance (3) pour et pour les valeurs rationnelles de la constante a pour laquelle elle est définie. Pour ce faire, imaginez x sous la forme suivante :
.
Alors ,
.
On trouve la dérivée en plaçant la constante en dehors du signe de la dérivée et en appliquant la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Ici . Mais
.
Depuis lors
.
Alors
.
Autrement dit, la formule (1) est également valable pour :
(1)
.
Dérivés d'ordre supérieur
Trouvons maintenant les dérivées d'ordre supérieur de la fonction puissance
(3)
.
Nous avons déjà trouvé la dérivée du premier ordre :
.
En prenant la constante a en dehors du signe de la dérivée, on trouve la dérivée du second ordre :
.
De même, on retrouve des dérivées du troisième et du quatrième ordre :
;
.
De là il ressort clairement que dérivée d'ordre n arbitraire a la forme suivante :
.
remarquerez que si un est entier naturel
, alors la nième dérivée est constante :
.
Alors toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro :
,
à .
Exemples de calcul de dérivés
Exemple
Trouvez la dérivée de la fonction :
.
Solution
Convertissons les racines en puissances :
;
.
La fonction originale prend alors la forme :
.
Trouver des dérivées de puissances :
;
.
La dérivée de la constante est nulle :
.
Sur lequel nous avons examiné les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines techniques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très doué avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, alors lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, soyez d'humeur sérieuse - le matériel n'est pas simple, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.
En pratique avec dérivée fonction complexe vous devez y faire face très souvent, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des produits dérivés.
On regarde le tableau de la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :
Voyons cela. Tout d’abord, faisons attention à l’entrée. Ici, nous avons deux fonctions – et , et la fonction , au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu’une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.
j'appellerai la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).
! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles « fonction externe », fonction « interne » uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.
Pour clarifier la situation, considérons :
Exemple 1
Trouver la dérivée d'une fonction
Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre « X », mais une expression entière, donc trouver la dérivée directement à partir du tableau ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est que le sinus ne peut pas être « déchiré en morceaux » :
DANS dans cet exemple Il ressort déjà intuitivement de mes explications qu'une fonction est une fonction complexe et qu'un polynôme est une fonction interne (intégration) et une fonction externe.
Premier pas ce que vous devez faire pour trouver la dérivée d'une fonction complexe est de comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.
Quand exemples simples Il semble clair qu’un polynôme est intégré sous le sinus. Et si tout n’était pas évident ? Comment déterminer avec précision quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou par brouillon.
Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression sur une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).
Que va-t-on calculer en premier ? Tout d'abord vous devrez effectuer l'action suivante : , le polynôme sera donc une fonction interne : 
Deuxièmement il faudra trouver, donc sinus – sera une fonction externe : 
Après nous ÉPUISÉ avec les fonctions internes et externes, il est temps d’appliquer la règle de différenciation des fonctions complexes 
.
Commençons par décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception d'une solution à toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :
D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules du tableau sont également applicables si « x » est remplacé par une expression complexe, V dans ce cas:
Veuillez noter que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.
Eh bien, c'est bien évident que
Le résultat de l'application de la formule 
dans sa forme finale, cela ressemble à ceci :
Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :
En cas de malentendu, notez la solution sur papier et relisez les explications.
Exemple 2
Trouver la dérivée d'une fonction
Exemple 3
Trouver la dérivée d'une fonction
Comme toujours, nous écrivons : 
Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de calculer la valeur de l'expression en . Que devez-vous faire en premier ? Tout d'abord, il faut calculer à quoi est égale la base : le polynôme est donc la fonction interne : 
Et seulement alors l'exponentiation est effectuée, donc la fonction puissance est une fonction externe : 
D'après la formule 
, vous devez d’abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. On recherche la formule recherchée dans le tableau : . Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour « X », mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe 
suivant:
J'insiste encore sur le fait que lorsque l'on prend la dérivée de la fonction externe, notre fonction interne ne change pas : 
Il ne reste plus qu'à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à peaufiner un peu le résultat :
Exemple 4
Trouver la dérivée d'une fonction
Ceci est un exemple pour décision indépendante(réponse à la fin de la leçon).
Pour consolider votre compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, raisonner où se trouve la fonction externe et où se trouve la fonction interne, pourquoi les tâches sont résolues de cette façon ?
Exemple 5
a) Trouver la dérivée de la fonction
b) Trouver la dérivée de la fonction
Exemple 6
Trouver la dérivée d'une fonction 
Nous avons ici une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme une puissance. Ainsi, nous mettons d’abord la fonction sous la forme appropriée à la différenciation :
En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme des trois termes est une fonction interne, et que l'élévation à une puissance est une fonction externe. Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes 
:
Nous représentons à nouveau le degré comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :
Prêt. Vous pouvez également réduire l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et tout écrire sous forme d'une seule fraction. C'est beau, bien sûr, mais quand on a des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas faire ça (il est facile de se tromper, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).
Exemple 7
Trouver la dérivée d'une fonction
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).
Il est intéressant de noter que parfois au lieu de la règle de différenciation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différenciation d'un quotient 
, mais une telle solution ressemblera à une perversion inhabituelle. Ici exemple typique:
Exemple 8
Trouver la dérivée d'une fonction
Ici vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient 
, mais il est bien plus rentable de trouver la dérivée par la règle de différenciation d'une fonction complexe :
Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le moins du signe dérivé et élevons le cosinus au numérateur :
Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle 
:
Nous trouvons la dérivée de la fonction interne et réinitialisons le cosinus :
Prêt. Dans l’exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre en utilisant la règle 
, les réponses doivent correspondre.
Exemple 9
Trouver la dérivée d'une fonction
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).
Jusqu’à présent, nous avons considéré des cas où nous n’avions qu’un seul attachement dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3 voire 4 à 5 fonctions sont imbriquées à la fois.
Exemple 10
Trouver la dérivée d'une fonction
Comprenons les pièces jointes de cette fonction. Essayons de calculer l'expression en utilisant la valeur expérimentale. Comment pourrions-nous compter sur une calculatrice ?
Vous devez d’abord trouver , ce qui signifie que l’arc sinus est l’intégration la plus profonde :
Cet arc sinus de un doit alors être au carré :
Et enfin, on élève sept à la puissance : 
Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux incorporations, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.
Commençons par décider
Selon la règle 
Vous devez d’abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : La seule différence est qu'au lieu de « x » nous avons expression complexe, ce qui n'enlève rien à la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe 
suivant.