Ασκήσεις για την εύρεση της παραγώγου συνάρτησης με λύση. Ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Να βρείτε (με λύση) την παράγωγο της συνάρτησης
Το πρόβλημα της εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης είναι ένα από τα κύρια στα μαθήματα των μαθηματικών του Λυκείου και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Είναι αδύνατο να εξερευνήσετε πλήρως μια συνάρτηση και να κατασκευάσετε το γράφημά της χωρίς να λάβετε την παράγωγό της. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί εύκολα αν γνωρίζετε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης, καθώς και τον πίνακα παραγώγων βασικών συναρτήσεων. Ας δούμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν.
Η κατανόηση αυτού του ορισμού είναι αρκετά δύσκολη, καθώς η έννοια του ορίου δεν έχει μελετηθεί πλήρως στο σχολείο. Αλλά για να βρούμε παράγωγα διαφόρων συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον ορισμό, ας τον αφήσουμε στους μαθηματικούς και ας προχωρήσουμε κατευθείαν στην εύρεση της παραγώγου.
Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση, θα έχουμε μια νέα συνάρτηση.
Για να τα ορίσουμε θα χρησιμοποιήσουμε τα λατινικά γράμματα f, g κ.λπ.
Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί συμβολισμοί για τα παράγωγα. Θα χρησιμοποιήσουμε εγκεφαλικό. Για παράδειγμα, γράφοντας g» σημαίνει ότι θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης g.
Πίνακας παραγώγων
Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε την παράγωγο, είναι απαραίτητο να παρέχετε έναν πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων. Για τον υπολογισμό των παραγώγων των στοιχειωδών συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν σύνθετοι υπολογισμοί. Αρκεί μόνο να δούμε την αξία του στον πίνακα των παραγώγων.
- (αμαρτία x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (ε χ)"=ε χ
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/αμαρτία 2 x
- (τόξο x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Παράδειγμα 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=500.
Βλέπουμε ότι αυτό είναι μια σταθερά. Από τον πίνακα των παραγώγων είναι γνωστό ότι η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με μηδέν (τύπος 1).
Παράδειγμα 2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=x 100.
Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος της οποίας ο εκθέτης είναι 100 και για να βρείτε την παράγωγό της πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη συνάρτηση με τον εκθέτη και να τη μειώσετε κατά 1 (τύπος 3).
(x 100)"=100 x 99
Παράδειγμα 3. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=5 x
Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση, ας υπολογίσουμε την παράγωγό της χρησιμοποιώντας τον τύπο 4.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= log 4 x
Βρίσκουμε την παράγωγο του λογάριθμου χρησιμοποιώντας τον τύπο 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Κανόνες διαφοροποίησης
Ας δούμε τώρα πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης εάν δεν υπάρχει στον πίνακα. Οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που μελετήθηκαν δεν είναι στοιχειώδεις, αλλά είναι συνδυασμοί στοιχειωδών συναρτήσεων που χρησιμοποιούν απλές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό). Για να βρείτε τα παράγωγά τους, πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες διαφοροποίησης. Παρακάτω, τα γράμματα f και g δηλώνουν συναρτήσεις και το C είναι μια σταθερά.
1. Ο σταθερός συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου
Παράδειγμα 5. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= 6*x 8
Βγάζουμε σταθερό συντελεστή 6 και διαφοροποιούμε μόνο το x 4. Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος, η παράγωγος της οποίας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο 3 του πίνακα παραγώγων.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Η παράγωγος ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων
(f + g)"=f" + g"
Παράδειγμα 6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 +sin x
Συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων, τις παράγωγες των οποίων μπορούμε να βρούμε από τον πίνακα. Αφού (x 100)"=100 x 99 και (sin x)"=cos x. Η παράγωγος του αθροίσματος θα είναι ίση με το άθροισμα αυτών των παραγώγων:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων
(f – g)"=f" – g"
Παράδειγμα 7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 – cos x
Αυτή η συνάρτηση είναι η διαφορά δύο συναρτήσεων, τις παράγωγες των οποίων μπορούμε να βρούμε και στον πίνακα. Τότε η παράγωγος της διαφοράς είναι ίση με τη διαφορά των παραγώγων και μην ξεχάσετε να αλλάξετε το πρόσημο, αφού (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Παράδειγμα 8. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=e x +tg x– x 2.
Αυτή η συνάρτηση έχει και άθροισμα και διαφορά, ας βρούμε τις παραγώγους κάθε όρου.
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Τότε η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης είναι ίση με:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Παράγωγο του προϊόντος
(f * g)"=f" * g + f * g"
Παράδειγμα 9. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= cos x *e x
Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο κάθε παράγοντα (cos x)"=–sin x και (e x)"=e x. Τώρα ας αντικαταστήσουμε τα πάντα στη φόρμουλα του προϊόντος. Πολλαπλασιάζουμε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και προσθέτουμε το γινόμενο της πρώτης συνάρτησης με την παράγωγο της δεύτερης.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Παράγωγος του πηλίκου
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Παράδειγμα 10. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 50 /sin x
Για να βρούμε την παράγωγο ενός πηλίκου, βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή ξεχωριστά: (x 50)"=50 x 49 και (sin x)"= cos x. Αντικαθιστώντας την παράγωγο του πηλίκου στον τύπο, παίρνουμε:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης
Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύεται από μια σύνθεση πολλών συναρτήσεων. Για να βρείτε την παράγωγο σύνθετη λειτουργίαυπάρχει και ένας κανόνας:
(u (v))"=u"(v)*v"
Ας μάθουμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας τέτοιας συνάρτησης. Έστω y= u(v(x)) μιγαδική συνάρτηση. Ας ονομάσουμε τη συνάρτηση u εξωτερική, και v - εσωτερική.
Για παράδειγμα:
Το y=sin (x 3) είναι μια σύνθετη συνάρτηση.
Τότε η y=sin(t) είναι εξωτερική συνάρτηση
t=x 3 - εσωτερικό.
Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Σύμφωνα με τον τύπο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τις παραγώγους των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων.
(sin t)"=cos (t) - παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (όπου t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης
Τότε (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 είναι η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Δίνονται παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Εδώ δίνουμε παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων:
;
;
;
;
.
Εάν μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετη συνάρτηση με την ακόλουθη μορφή:
,
τότε η παράγωγός της προσδιορίζεται από τον τύπο:
.
Στα παρακάτω παραδείγματα, θα γράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:
.
Οπου .
Εδώ, οι δείκτες ή , που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο της παραγώγου, δηλώνουν τις μεταβλητές με τις οποίες εκτελείται η διαφοροποίηση.
Συνήθως, σε πίνακες παραγώγων δίνονται παράγωγοι συναρτήσεων από τη μεταβλητή x. Ωστόσο, το x είναι μια τυπική παράμετρος. Η μεταβλητή x μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή. Επομένως, όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση από μια μεταβλητή, απλώς αλλάζουμε, στον πίνακα των παραγώγων, τη μεταβλητή x στη μεταβλητή u.
Απλά παραδείγματα
Παράδειγμα 1
Να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης
.
Λύση
Ας το γράψουμε δεδομένη λειτουργίασε ισοδύναμη μορφή:
.
Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
.
Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:
.
Εδώ .
Απάντηση
Παράδειγμα 2
Βρείτε την παράγωγο
.
Λύση
Βγάζουμε τη σταθερά 5 από το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
.
Εδώ .
Απάντηση
Παράδειγμα 3
Βρείτε την παράγωγο
.
Λύση
Βγάζουμε ένα σταθερό -1
για το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Εδώ .
Απάντηση
Πιο σύνθετα παραδείγματα
Σε περισσότερα σύνθετα παραδείγματαεφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζουμε την παράγωγο από το τέλος. Δηλαδή, χωρίζουμε τη συνάρτηση στα συστατικά μέρη της και βρίσκουμε τις παραγώγους των απλούστερων μερών χρησιμοποιώντας πίνακας παραγώγων. Χρησιμοποιούμε επίσης κανόνες για τη διαφοροποίηση των ποσών, προϊόντα και κλάσματα. Στη συνέχεια κάνουμε αντικαταστάσεις και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Παράδειγμα 4
Βρείτε την παράγωγο
.
Λύση
Ας επιλέξουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και ας βρούμε την παράγωγό του. .
.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε τη σημειογραφία
.
Βρίσκουμε την παράγωγο του επόμενου μέρους της αρχικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:
.
Για άλλη μια φορά εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
.
Εδώ .
Απάντηση
Παράδειγμα 5
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
.
Λύση
Ας επιλέξουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και ας βρούμε την παράγωγό του από τον πίνακα των παραγώγων. .
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των σύνθετων συναρτήσεων.
.
Εδώ
.
Πώς να βρείτε το παράγωγο, πώς να πάρετε το παράγωγο;Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε παραγώγους συναρτήσεων. Αλλά πριν μελετήσετε αυτήν τη σελίδα, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να εξοικειωθείτε με το μεθοδολογικό υλικό Καυτές φόρμουλες σχολικό μάθημαμαθηματικοί. Το εγχειρίδιο αναφοράς μπορεί να ανοίξει ή να ληφθεί στη σελίδα Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Επίσης από εκεί θα χρειαστούμε Πίνακας παραγώγων, είναι καλύτερα να το εκτυπώσετε, θα πρέπει συχνά να ανατρέχετε σε αυτό, όχι μόνο τώρα, αλλά και εκτός σύνδεσης.
Τρώω; Ας αρχίσουμε. Σας έχω δύο νέα: καλά και πολύ καλά. Τα καλά νέα είναι τα εξής: για να μάθετε πώς να βρίσκετε παράγωγα, δεν χρειάζεται να γνωρίζετε και να κατανοείτε τι είναι παράγωγο. Επιπλέον, ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης, μαθηματικής, φυσικής, γεωμετρική σημασίαΕίναι πιο κατάλληλο να αφομοιώσουμε την παράγωγο αργότερα, αφού μια ποιοτική επεξεργασία της θεωρίας, κατά τη γνώμη μου, απαιτεί τη μελέτη μιας σειράς άλλων θεμάτων, καθώς και κάποια πρακτική εμπειρία.
Και τώρα το καθήκον μας είναι να κυριαρχήσουμε τεχνικά σε αυτά τα ίδια παράγωγα. Πολύ καλα ΝΕΑείναι ότι η εκμάθηση της λήψης παραγώγων δεν είναι τόσο δύσκολη, υπάρχει ένας αρκετά σαφής αλγόριθμος για την επίλυση (και την εξήγηση) αυτής της εργασίας, για παράδειγμα, τα ολοκληρώματα ή τα όρια.
Προτείνω την ακόλουθη σειρά μελέτης του θέματος:: Πρώτον, αυτό το άρθρο. Τότε πρέπει να διαβάσετε το πιο σημαντικό μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Αυτές οι δύο βασικές τάξεις θα πάρουν τις δεξιότητές σας από την αρχή. Στη συνέχεια, μπορείτε να εξοικειωθείτε με πιο σύνθετα παράγωγα στο άρθρο Σύνθετα παράγωγα. Λογαριθμική παράγωγος. Εάν ο πήχης είναι πολύ ψηλός, διαβάστε πρώτα το πράγμα Τα απλούστερα τυπικά προβλήματα με τα παράγωγα. Εκτός από το νέο υλικό, το μάθημα καλύπτει και άλλα, περισσότερα απλοί τύποιπαράγωγα, και υπάρχει μια μεγάλη ευκαιρία να βελτιώσετε την τεχνική διαφοροποίησής σας. Εξάλλου, σε δοκιμέςΣχεδόν πάντα υπάρχουν εργασίες για την εύρεση παραγώγων συναρτήσεων που καθορίζονται έμμεσα ή παραμετρικά. Υπάρχει επίσης ένα τέτοιο μάθημα: Παράγωγα άρρητων και παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων.
Θα προσπαθήσω σε μια προσιτή μορφή, βήμα προς βήμα, να σας μάθω πώς να βρίσκετε παραγώγους συναρτήσεων. Όλες οι πληροφορίες παρουσιάζονται αναλυτικά, με απλά λόγια.
Στην πραγματικότητα, ας δούμε αμέσως ένα παράδειγμα:
Παράδειγμα 1
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση: 
Αυτό απλούστερο παράδειγμα, βρείτε το στον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Τώρα ας δούμε τη λύση και ας αναλύσουμε τι συνέβη; Και συνέβη το εξής: είχαμε μια συνάρτηση, η οποία, ως αποτέλεσμα της λύσης, μετατράπηκε σε συνάρτηση.
Για να το θέσω πολύ απλά, για να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, πρέπει να τη μετατρέψετε σε άλλη συνάρτηση σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Κοιτάξτε ξανά τον πίνακα των παραγώγων - εκεί οι συναρτήσεις μετατρέπονται σε άλλες συναρτήσεις. Η μόνη εξαίρεση είναι εκθετικη συναρτηση, που μετατρέπεται στον εαυτό του. Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση .
Ονομασίες: Η παράγωγος συμβολίζεται με ή .
ΠΡΟΣΟΧΗ, ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!Ξεχνώντας να βάλετε ένα εγκεφαλικό επεισόδιο (όπου είναι απαραίτητο) ή να σχεδιάσετε ένα επιπλέον εγκεφαλικό επεισόδιο (όπου δεν είναι απαραίτητο) - ΜΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ!Μια συνάρτηση και η παράγωγός της είναι δύο διαφορετικές συναρτήσεις!
Ας επιστρέψουμε στον πίνακα των παραγώγων μας. Από αυτόν τον πίνακα είναι επιθυμητό απομνημονεύω: κανόνες διαφοροποίησης και παράγωγοι ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων, ιδίως:
παράγωγος της σταθεράς:
, όπου είναι ένας σταθερός αριθμός.
παράγωγος συνάρτησης ισχύος:
, συγκεκριμένα: , , .
Γιατί να θυμάστε; Αυτή η γνώση είναι βασική γνώση για τα παράγωγα. Και αν δεν μπορείτε να απαντήσετε στην ερώτηση του δασκάλου "Ποια είναι η παράγωγος ενός αριθμού;", τότε οι σπουδές σας στο πανεπιστήμιο μπορεί να τελειώσουν για εσάς (προσωπικά είμαι εξοικειωμένος με δύο πραγματικές περιπτώσεις). Επιπλέον, αυτοί είναι οι πιο συνηθισμένοι τύποι που πρέπει να χρησιμοποιούμε σχεδόν κάθε φορά που συναντάμε παράγωγα.
Στην πραγματικότητα, τα απλά παραδείγματα σε πίνακα είναι συνήθως σπάνια, κατά την εύρεση παραγώγων, χρησιμοποιούνται πρώτα κανόνες διαφοροποίησης και στη συνέχεια ένας πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων.
Από αυτή την άποψη, προχωράμε στην εξέταση κανόνες διαφοροποίησης:
1) Ένας σταθερός αριθμός μπορεί (και πρέπει) να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου
Πού είναι ένας σταθερός αριθμός (σταθερός)
Παράδειγμα 2
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Ας δούμε τον πίνακα των παραγώγων. Η παράγωγος του συνημιτόνου υπάρχει, αλλά έχουμε .
Ήρθε η ώρα να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα, αφαιρούμε τον σταθερό παράγοντα από το πρόσημο της παραγώγου:
Τώρα μετατρέπουμε το συνημίτονό μας σύμφωνα με τον πίνακα:
Λοιπόν, είναι σκόπιμο να "χτενίσετε" λίγο το αποτέλεσμα - βάλτε το σύμβολο μείον στην πρώτη θέση, ενώ ταυτόχρονα ξεφορτωθείτε τα στηρίγματα:
2) Η παράγωγος του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων
Παράδειγμα 3
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Ας αποφασίσουμε. Όπως πιθανότατα έχετε ήδη παρατηρήσει, το πρώτο βήμα που εκτελείται πάντα κατά την εύρεση μιας παραγώγου είναι ότι περικλείουμε ολόκληρη την έκφραση σε παρένθεση και βάζουμε έναν πρώτο στην επάνω δεξιά γωνία:
Ας εφαρμόσουμε τον δεύτερο κανόνα:
Λάβετε υπόψη ότι για τη διαφοροποίηση, όλες οι ρίζες και οι μοίρες πρέπει να αντιπροσωπεύονται στη φόρμα και εάν είναι στον παρονομαστή, μετακινήστε τις προς τα επάνω. Το πώς να το κάνω αυτό συζητείται στο διδακτικό μου υλικό.
Τώρα ας θυμηθούμε τον πρώτο κανόνα διαφοροποίησης - παίρνουμε τους σταθερούς παράγοντες (αριθμούς) έξω από το πρόσημο της παραγώγου:
Συνήθως, κατά τη διάρκεια της λύσης, αυτοί οι δύο κανόνες εφαρμόζονται ταυτόχρονα (για να μην ξαναγράψουμε μια μεγάλη έκφραση).
Όλες οι συναρτήσεις που βρίσκονται κάτω από τις πινελιές είναι στοιχειώδεις συναρτήσεις πίνακα χρησιμοποιώντας τον πίνακα που πραγματοποιούμε τον μετασχηματισμό:
Μπορείτε να αφήσετε τα πάντα ως έχουν, αφού δεν υπάρχουν άλλα εγκεφαλικά επεισόδια, και το παράγωγο έχει βρεθεί. Ωστόσο, εκφράσεις όπως αυτή συνήθως απλοποιούν:
Συνιστάται να αναπαραστήσετε ξανά όλες τις δυνάμεις του τύπου με τη μορφή ριζών με αρνητικούς εκθέτες. Αν και δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, δεν θα είναι λάθος.
Παράδειγμα 4
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
Προσπαθήστε να λύσετε αυτό το παράδειγμαανεξάρτητα (απάντηση στο τέλος του μαθήματος). Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν επίσης να χρησιμοποιήσουν εντατικό μάθημασε μορφή pdf, η οποία είναι ιδιαίτερα σημαντική αν έχετε πολύ λίγο χρόνο στη διάθεσή σας.
3) Παράγωγος του γινομένου συναρτήσεων
Φαίνεται ότι η αναλογία προτείνει τον τύπο ...., αλλά η έκπληξη είναι ότι:
Αυτός είναι ένας ασυνήθιστος κανόνας (όπως, στην πραγματικότητα, άλλοι)προκύπτει από παράγωγοι ορισμοί. Αλλά θα κρατήσουμε τη θεωρία προς το παρόν - τώρα είναι πιο σημαντικό να μάθουμε πώς να λύνουμε:
Παράδειγμα 5
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Εδώ έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων ανάλογα με το .
Πρώτα εφαρμόζουμε τον περίεργο κανόνα μας και μετά μετασχηματίζουμε τις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον πίνακα παραγώγων:
Δύσκολος; Καθόλου, αρκετά προσβάσιμο ακόμα και για τσαγιέρα.
Παράδειγμα 6
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
Αυτή η συνάρτηση περιέχει το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων - του τετραγωνικού τριωνύμου και του λογάριθμου. Από το σχολείο θυμόμαστε ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση υπερισχύουν της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
Το ίδιο είναι και εδώ. ΑΡΧΙΚΑχρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:
Τώρα για την παρένθεση χρησιμοποιούμε τους δύο πρώτους κανόνες:
Ως αποτέλεσμα της εφαρμογής των κανόνων διαφοροποίησης κάτω από τις πινελιές, μας μένουν μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον πίνακα παραγώγων, τις μετατρέπουμε σε άλλες συναρτήσεις:
Ετοιμος.
Με κάποια εμπειρία στην εύρεση παραγώγων, τα απλά παράγωγα δεν φαίνεται να χρειάζεται να περιγραφούν με τόση λεπτομέρεια. Γενικά, συνήθως αποφασίζονται προφορικά, και αμέσως γράφεται αυτό 
.
Παράδειγμα 7
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση(απάντηση στο τέλος του μαθήματος)
4) Παράγωγος συναρτήσεων πηλίκου
Μια καταπακτή άνοιξε στο ταβάνι, μην ανησυχείτε, είναι πρόβλημα.
Αλλά αυτή είναι η σκληρή πραγματικότητα: 
Παράδειγμα 8
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Τι λείπει εδώ - άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, κλάσμα…. Με τι να ξεκινήσω;! Υπάρχουν αμφιβολίες, δεν υπάρχουν αμφιβολίες, αλλά ΤΕΛΟΣ ΠΑΝΤΩΝΠρώτα, τραβήξτε αγκύλες και βάλτε μια πινελιά πάνω δεξιά:
Τώρα κοιτάμε την έκφραση σε αγκύλες, πώς μπορούμε να την απλοποιήσουμε; ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηπαρατηρούμε έναν παράγοντα που, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα, καλό είναι να βγάλουμε το πρόσημο της παραγώγου.
Πρώτο επίπεδο
Παράγωγος συνάρτησης. The Ultimate Guide (2019)
Ας φανταστούμε έναν ευθύ δρόμο που περνά μέσα από μια λοφώδη περιοχή. Δηλαδή ανεβοκατεβαίνει, αλλά δεν στρίβει δεξιά ή αριστερά. Εάν ο άξονας κατευθύνεται οριζόντια κατά μήκος του δρόμου και κατακόρυφα, τότε η γραμμή του δρόμου θα μοιάζει πολύ με το γράφημα κάποιας συνεχούς συνάρτησης:
Ο άξονας είναι ένα ορισμένο επίπεδο μηδενικού υψομέτρου στη ζωή χρησιμοποιούμε το επίπεδο της θάλασσας.
Καθώς προχωράμε μπροστά σε έναν τέτοιο δρόμο, ανεβαίνουμε ή κατεβαίνουμε επίσης. Μπορούμε επίσης να πούμε: όταν αλλάζει το όρισμα (κίνηση κατά μήκος του άξονα της τετμημένης), αλλάζει η τιμή της συνάρτησης (κίνηση κατά μήκος του άξονα τεταγμένης). Τώρα ας σκεφτούμε πώς να προσδιορίσουμε την «κλίση» του δρόμου μας; Τι είδους αξία μπορεί να είναι αυτό; Είναι πολύ απλό: πόσο θα αλλάξει το ύψος όταν κινείστε μπροστά σε μια συγκεκριμένη απόσταση. Πράγματι, σε διαφορετικά τμήματα του δρόμου, προχωρώντας (κατά μήκος του άξονα x) κατά ένα χιλιόμετρο, θα ανεβαίνουμε ή θα πέφτουμε κατά διαφορετικό αριθμό μέτρων σε σχέση με την επιφάνεια της θάλασσας (κατά μήκος του άξονα y).
Ας υποδηλώσουμε την πρόοδο (διαβάστε "δέλτα x").
Το ελληνικό γράμμα (δέλτα) χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά ως πρόθεμα που σημαίνει "αλλαγή". Δηλαδή - αυτή είναι μια αλλαγή στην ποσότητα, - μια αλλαγή. τότε τι είναι; Αυτό είναι σωστό, μια αλλαγή στο μέγεθος.
Σημαντικό: μια έκφραση είναι ένα ενιαίο σύνολο, μία μεταβλητή. Ποτέ μην διαχωρίζετε το «δέλτα» από το «x» ή οποιοδήποτε άλλο γράμμα! Δηλαδή, για παράδειγμα, .
Έτσι, προχωρήσαμε, οριζόντια, κατά. Αν συγκρίνουμε τη γραμμή του δρόμου με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε πώς συμβολίζουμε την άνοδο; Σίγουρα,. Δηλαδή όσο προχωράμε, ανεβαίνουμε ψηλότερα.
Η τιμή είναι εύκολο να υπολογιστεί: αν στην αρχή βρισκόμασταν σε ύψος, και αφού μετακινηθήκαμε βρεθήκαμε σε ύψος, τότε. Εάν το τελικό σημείο είναι χαμηλότερο από το σημείο εκκίνησης, θα είναι αρνητικό - αυτό σημαίνει ότι δεν ανεβαίνουμε, αλλά κατεβαίνουμε.
Ας επιστρέψουμε στην "απότομη": αυτή είναι μια τιμή που δείχνει πόσο (απότομα) αυξάνεται το ύψος όταν κινείται προς τα εμπρός μία μονάδα απόστασης:
Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο τμήμα του δρόμου, όταν προχωράμε προς τα εμπρός κατά ένα χιλιόμετρο, ο δρόμος ανεβαίνει κατά ένα χιλιόμετρο. Τότε η κλίση σε αυτό το μέρος είναι ίση. Και αν ο δρόμος, ενώ προχωρούσε κατά m, έπεσε κατά km; Τότε η κλίση είναι ίση.
Τώρα ας δούμε την κορυφή ενός λόφου. Εάν πάρετε την αρχή του τμήματος μισό χιλιόμετρο πριν την κορυφή και το τέλος μισό χιλιόμετρο μετά από αυτήν, μπορείτε να δείτε ότι το ύψος είναι σχεδόν το ίδιο.
Δηλαδή, σύμφωνα με τη λογική μας, αποδεικνύεται ότι η κλίση εδώ είναι σχεδόν ίση με το μηδέν, κάτι που σαφώς δεν ισχύει. Λίγο σε απόσταση χιλιομέτρων πολλά μπορούν να αλλάξουν. Είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μικρότερες περιοχές για μια πιο επαρκή και ακριβή εκτίμηση της κλίσης. Για παράδειγμα, αν μετρήσετε την αλλαγή ύψους καθώς μετακινείστε ένα μέτρο, το αποτέλεσμα θα είναι πολύ πιο ακριβές. Αλλά ακόμη και αυτή η ακρίβεια μπορεί να μην μας αρκεί - άλλωστε, αν υπάρχει κοντάρι στη μέση του δρόμου, μπορούμε απλά να το προσπεράσουμε. Τι απόσταση να επιλέξουμε τότε; Εκατοστόμετρο; Χιλιοστόμετρο; Λιγότερο είναι καλύτερο!
ΣΕ πραγματική ζωήΗ μέτρηση αποστάσεων στο πλησιέστερο χιλιοστό είναι υπεραρκετή. Αλλά οι μαθηματικοί προσπαθούν πάντα για την τελειότητα. Ως εκ τούτου, η έννοια επινοήθηκε απειροελάχιστος, δηλαδή η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη από κάθε αριθμό που μπορούμε να ονομάσουμε. Για παράδειγμα, λέτε: ένα τρισεκατομμύριο! Πόσο λιγότερο; Και διαιρείτε αυτόν τον αριθμό με - και θα είναι ακόμη λιγότερος. Και ούτω καθεξής. Αν θέλουμε να γράψουμε ότι μια ποσότητα είναι απειροελάχιστη, γράφουμε ως εξής: (διαβάζουμε «το x τείνει στο μηδέν»). Είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουμε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι μηδέν!Αλλά πολύ κοντά σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να διαιρέσετε με αυτό.
Η έννοια απέναντι από το απειροελάχιστο είναι απείρως μεγάλο (). Πιθανότατα το έχετε ήδη συναντήσει όταν εργαζόσασταν για τις ανισότητες: αυτός ο αριθμός είναι modulo μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να σκεφτείτε. Αν καταλήξατε στο μεγαλύτερο πιθανούς αριθμούς, απλά πολλαπλασιάστε το επί δύο και θα πάρετε ακόμα περισσότερα. Και το άπειρο είναι ακόμα μεγαλύτερο από αυτό που συμβαίνει. Στην πραγματικότητα, το απείρως μεγάλο και το απείρως μικρό είναι το αντίστροφο του άλλου, δηλαδή στο, και αντίστροφα: στο.
Τώρα ας επιστρέψουμε στον δρόμο μας. Η ιδανικά υπολογισμένη κλίση είναι η κλίση που υπολογίζεται για ένα απειροελάχιστο τμήμα της διαδρομής, δηλαδή:
Σημειώνω ότι με απειροελάχιστη μετατόπιση, απειροελάχιστη θα είναι και η αλλαγή ύψους. Να θυμίσω όμως ότι απειροελάχιστο δεν σημαίνει ίσο με μηδέν. Εάν διαιρέσετε απειροελάχιστους αριθμούς μεταξύ τους, μπορείτε να πάρετε έναν εντελώς συνηθισμένο αριθμό, για παράδειγμα, . Δηλαδή, μια μικρή τιμή μπορεί να είναι ακριβώς φορές μεγαλύτερη από μια άλλη.
Προς τι όλα αυτά; Ο δρόμος, η ανηφόρα... Δεν πάμε σε ράλι αυτοκινήτου, αλλά διδάσκουμε μαθηματικά. Και στα μαθηματικά όλα είναι ακριβώς τα ίδια, ονομάζονται μόνο διαφορετικά.
Έννοια του παραγώγου
Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος.
Σταδιακάστα μαθηματικά ονομάζουν αλλαγή. Ο βαθμός στον οποίο το όρισμα () αλλάζει καθώς κινείται κατά μήκος του άξονα ονομάζεται προσαύξηση επιχειρήματοςκαι ορίζεται πόσο έχει αλλάξει η συνάρτηση (ύψος) όταν κινείται προς τα εμπρός κατά μήκος του άξονα κατά μια απόσταση αύξηση συνάρτησηςκαι ορίζεται.
Άρα, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος προς το πότε. Συμβολίζουμε την παράγωγο με το ίδιο γράμμα με τη συνάρτηση, μόνο με πρώτο πάνω δεξιά: ή απλά. Λοιπόν, ας γράψουμε τον τύπο της παραγώγου χρησιμοποιώντας αυτούς τους συμβολισμούς:
Όπως και στην αναλογία με το δρόμο, εδώ όταν αυξάνεται η συνάρτηση, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική.
Μπορεί η παράγωγος να είναι ίση με μηδέν; Σίγουρα. Για παράδειγμα, αν οδηγούμε σε επίπεδο οριζόντιο δρόμο, η απότομη κλίση είναι μηδενική. Και είναι αλήθεια, το ύψος δεν αλλάζει καθόλου. Έτσι είναι και με την παράγωγο: η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης (σταθερά) είναι ίση με μηδέν:
αφού η αύξηση μιας τέτοιας συνάρτησης είναι ίση με μηδέν για οποιαδήποτε.
Ας θυμηθούμε το παράδειγμα στην κορυφή του λόφου. Αποδείχθηκε ότι ήταν δυνατό να τακτοποιηθούν τα άκρα του τμήματος κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό την κορυφή, έτσι ώστε το ύψος στα άκρα να είναι το ίδιο, δηλαδή το τμήμα να είναι παράλληλο προς τον άξονα:
Αλλά τα μεγάλα τμήματα είναι σημάδι ανακριβούς μέτρησης. Θα ανεβάσουμε το τμήμα μας παράλληλα με τον εαυτό του, τότε το μήκος του θα μειωθεί.
Τελικά, όταν είμαστε απείρως κοντά στην κορυφή, το μήκος του τμήματος θα γίνει απειροελάχιστο. Ταυτόχρονα όμως παρέμεινε παράλληλος με τον άξονα, δηλαδή η διαφορά ύψους στα άκρα του είναι ίση με μηδέν (δεν τείνει, αλλά ισούται με). Άρα το παράγωγο
Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό ως εξής: όταν στεκόμαστε στην κορυφή, μια μικρή μετατόπιση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά αλλάζει αμελητέα το ύψος μας.
Υπάρχει επίσης μια καθαρά αλγεβρική εξήγηση: στα αριστερά της κορυφής η συνάρτηση αυξάνεται και στα δεξιά μειώνεται. Όπως ανακαλύψαμε νωρίτερα, όταν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική. Αλλάζει όμως ομαλά, χωρίς άλματα (αφού ο δρόμος δεν αλλάζει απότομα πουθενά την κλίση του). Επομένως, πρέπει να υπάρχει μεταξύ αρνητικών και θετικών τιμών. Θα είναι όπου η συνάρτηση ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται - στο σημείο κορυφής.
Το ίδιο ισχύει και για την κοιλότητα (η περιοχή όπου η συνάρτηση στα αριστερά μειώνεται και στα δεξιά αυξάνεται):
Λίγα περισσότερα για τις προσαυξήσεις.
Αλλάζουμε λοιπόν το όρισμα σε μέγεθος. Αλλάζουμε από ποια τιμή; Τι έχει γίνει (το επιχείρημα) τώρα; Μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο, και τώρα θα χορέψουμε από αυτό.
Θεωρήστε ένα σημείο με μια συντεταγμένη. Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι ίση. Στη συνέχεια κάνουμε την ίδια αύξηση: αυξάνουμε τη συντεταγμένη κατά. Ποιο είναι το επιχείρημα τώρα; Πολύ εύκολο: . Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης τώρα; Όπου πηγαίνει το όρισμα, ισχύει και η συνάρτηση: . Τι γίνεται με την αύξηση συνάρτησης; Τίποτα νέο: αυτό είναι ακόμα το ποσό κατά το οποίο έχει αλλάξει η συνάρτηση:
Εξασκηθείτε στην εύρεση προσαυξήσεων:
- Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης σε σημείο που η αύξηση του ορίσματος είναι ίση με.
- Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση σε ένα σημείο.
Λύσεις:
Σε διαφορετικά σημεία με την ίδια αύξηση ορίσματος, η αύξηση της συνάρτησης θα είναι διαφορετική. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος σε κάθε σημείο είναι διαφορετική (το συζητήσαμε στην αρχή - η κλίση του δρόμου είναι διαφορετική σε διαφορετικά σημεία). Επομένως, όταν γράφουμε μια παράγωγο, πρέπει να αναφέρουμε σε ποιο σημείο:
Λειτουργία ισχύος.
Μια συνάρτηση ισχύος είναι μια συνάρτηση όπου το όρισμα είναι σε κάποιο βαθμό (λογικό, σωστά;).
Επιπλέον - σε οποιοδήποτε βαθμό: .
Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν ο εκθέτης είναι:
Ας βρούμε την παράγωγή του σε ένα σημείο. Ας θυμηθούμε τον ορισμό της παραγώγου:
Έτσι το επιχείρημα αλλάζει από σε. Ποια είναι η αύξηση της συνάρτησης;
Η προσαύξηση είναι αυτή. Αλλά μια συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίση με το όρισμά της. Να γιατί:
Η παράγωγος ισούται με:
Η παράγωγος του είναι ίση με:
β) Σκεφτείτε τώρα τετραγωνική λειτουργία (): .
Τώρα ας το θυμηθούμε. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της προσαύξησης μπορεί να αγνοηθεί, καθώς είναι απειροελάχιστη και επομένως ασήμαντη στο πλαίσιο του άλλου όρου:
Έτσι, καταλήξαμε σε έναν άλλο κανόνα:
γ) Συνεχίζουμε τη λογική σειρά: .
Αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί με διάφορους τρόπους: ανοίξτε την πρώτη αγκύλη χρησιμοποιώντας τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό του κύβου του αθροίσματος ή παραγοντοποιήστε ολόκληρη την έκφραση χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς κύβων. Προσπαθήστε να το κάνετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις προτεινόμενες μεθόδους.
Λοιπόν, πήρα τα εξής:
Και πάλι ας το θυμόμαστε. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να παραβλέψουμε όλους τους όρους που περιέχουν:
Παίρνουμε: .
δ) Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να ληφθούν για μεγάλες δυνάμεις:
ε) Αποδεικνύεται ότι αυτός ο κανόνας μπορεί να γενικευτεί για μια συνάρτηση ισχύος με αυθαίρετο εκθέτη, ούτε καν ακέραιο:
| (2) |
Ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί με τις λέξεις: "ο βαθμός εμφανίζεται ως συντελεστής και στη συνέχεια μειώνεται κατά ."
Αυτόν τον κανόνα θα τον αποδείξουμε αργότερα (σχεδόν στο τέλος). Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:
- (με δύο τρόπους: με τύπο και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου - με τον υπολογισμό της αύξησης της συνάρτησης).
- . Είτε το πιστεύετε είτε όχι, αυτή είναι μια λειτουργία ισχύος. Εάν έχετε ερωτήσεις όπως «Πώς είναι αυτό; Πού είναι το πτυχίο;», θυμηθείτε το θέμα «»!
Ναι, ναι, και η ρίζα είναι μοίρα, μόνο κλασματική: .
Το δικό μας λοιπόν Τετραγωνική ρίζα- αυτό είναι απλώς ένας βαθμός με δείκτη:
.
Αναζητούμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο που μάθαμε πρόσφατα:Εάν σε αυτό το σημείο γίνει ξανά ασαφές, επαναλάβετε το θέμα ""!!! (περίπου ένα βαθμό με αρνητικό εκθέτη)
- . Τώρα ο εκθέτης:
Και τώρα μέσω του ορισμού (το έχετε ξεχάσει ακόμα;):
;
.
Τώρα, ως συνήθως, παραμελούμε τον όρο που περιέχει:
. - . Συνδυασμός προηγούμενων περιπτώσεων: .
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε ένα γεγονός από ανώτερα μαθηματικά:
Με έκφραση.
Θα μάθετε την απόδειξη στο πρώτο έτος του ινστιτούτου (και για να φτάσετε εκεί, πρέπει να περάσετε καλά την Εξεταστική Ενιαία Πολιτεία). Τώρα θα το δείξω μόνο γραφικά:
Βλέπουμε ότι όταν η συνάρτηση δεν υπάρχει - το σημείο στο γράφημα κόβεται. Όμως, όσο πιο κοντά στην τιμή, τόσο πιο κοντά βρίσκεται η συνάρτηση σε αυτό το "στόχο".
Επιπλέον, μπορείτε να ελέγξετε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ναι, ναι, μην ντρέπεστε, πάρτε μια αριθμομηχανή, δεν είμαστε ακόμα στις εξετάσεις του Unified State.
Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε: ;
Μην ξεχάσετε να αλλάξετε την αριθμομηχανή σας σε λειτουργία Radians!
και τα λοιπά. Βλέπουμε ότι όσο μικρότερη, τόσο πιο κοντά είναι η τιμή της αναλογίας.
α) Εξετάστε τη συνάρτηση. Ως συνήθως, ας βρούμε την προσαύξησή του:
Ας μετατρέψουμε τη διαφορά των ημιτόνων σε προϊόν. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο (θυμηθείτε το θέμα ""): .
Τώρα η παράγωγος:
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: . Τότε για απειροελάχιστο είναι και απειροελάχιστο: . Η έκφραση για παίρνει τη μορφή:
Και τώρα το θυμόμαστε με την έκφραση. Και επίσης, τι γίνεται αν μια απειροελάχιστη ποσότητα μπορεί να αγνοηθεί στο άθροισμα (δηλαδή στο).
Έτσι, παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: η παράγωγος του ημιτόνου ισούται με το συνημίτονο:
Αυτά είναι βασικά ("πίνακα") παράγωγα. Εδώ είναι σε μια λίστα:
Αργότερα θα προσθέσουμε μερικά ακόμα σε αυτά, αλλά αυτά είναι τα πιο σημαντικά, αφού χρησιμοποιούνται συχνότερα.
Πρακτική:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Λύσεις:
- Αρχικά, ας βρούμε την παράγωγο σε γενική εικόνακαι μετά αντικαταστήστε την τιμή του:
;
. - Εδώ έχουμε κάτι παρόμοιο λειτουργία ισχύος. Ας προσπαθήσουμε να τη φέρουμε
κανονική θέα:
.
Τέλεια, τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
.
. - . Εεεεεε.....Τι είναι αυτό????
Εντάξει, έχεις δίκιο, δεν ξέρουμε ακόμα πώς να βρούμε τέτοια παράγωγα. Εδώ έχουμε έναν συνδυασμό πολλών τύπων συναρτήσεων. Για να εργαστείτε μαζί τους, πρέπει να μάθετε μερικούς ακόμη κανόνες:
Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος.
Υπάρχει μια συνάρτηση στα μαθηματικά της οποίας η παράγωγος για οποιαδήποτε τιμή είναι ίση με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης ταυτόχρονα. Ονομάζεται «εκθέτης» και είναι εκθετική συνάρτηση
Η βάση αυτής της συνάρτησης είναι μια σταθερά - είναι άπειρη δεκαδικός, δηλαδή ένας άρρητος αριθμός (όπως π.χ.). Ονομάζεται «αριθμός Euler», γι' αυτό και συμβολίζεται με ένα γράμμα.
Ο κανόνας λοιπόν:
Πολύ εύκολο να θυμάστε.
Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας το δούμε αμέσως αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικη συναρτηση? Λογάριθμος:
Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:
Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.
Με τι ισούται; Φυσικά, .
Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
- Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;
Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.
Κανόνες διαφοροποίησης
Κανόνες τι; Πάλι νέος όρος, πάλι;!...
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.
Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.
Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:
Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.
Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.
Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .
Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.
Παραδείγματα.
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- στο σημείο.
Λύσεις:
- (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού αυτό γραμμική συνάρτηση, θυμάμαι;);
Παράγωγο του προϊόντος
Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:
Παράγωγο:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.
Λύσεις:
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).
Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.
Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:
Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε απλός κανόνας: . Επειτα:
Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.
Συνέβη;
Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:
Ο τύπος αποδείχθηκε πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.
Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Απαντήσεις:
Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί πλέον σε απλή μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.
Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:
Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:
Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (ένας σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:
Παράγωγα εκθετικής και λογαριθμικές συναρτήσειςσχεδόν ποτέ δεν εμφανίζονται στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα έβλαπτε να τους γνωρίσετε.
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".
Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.
Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη; Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.
Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Σημαντικό χαρακτηριστικόσύνθετες συναρτήσεις: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.
Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .
Για το πρώτο παράδειγμα, .
Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .
Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).
Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:
Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση
- Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.
Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:
Ενα άλλο παράδειγμα:
Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
Φαίνεται απλό, σωστά;
Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:
Λύσεις:
1) Εσωτερικό: ;
Εξωτερικό: ;
2) Εσωτερική: ;
(Μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)
3) Εσωτερική: ;
Εξωτερικό: ;
Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάζουμε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.
Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:
Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε τη σειρά δράσης.
1. Ριζοσπαστική έκφραση. .
2. Ρίζα. .
3. Ημιτονοειδής. .
4. Τετράγωνο. .
5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:
ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ
Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:
Βασικά παράγωγα:
Κανόνες διαφοροποίησης:
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:
Παράγωγο του αθροίσματος:
Παράγωγο του προϊόντος:
Παράγωγος του πηλίκου:
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
- Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.