Encuentra n fórmula de progresión aritmética. Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética

Primer nivel

Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)

secuencia numérica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.
El número con número se llama décimo término de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Esta secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica infinita. El nombre "aritmética" proviene de la teoría de las proporciones continuas, que fue estudiada por los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior sumado al mismo número. Este número se llama diferencia de una progresión aritmética y se designa.

Intente determinar qué secuencias numéricas son una progresión aritmética y cuáles no:

a)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su enésimo término. existe dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar el número de progresión al valor anterior hasta llegar al décimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir: sólo tres valores:

Entonces, el término de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Qué pasaría si necesitáramos encontrar el valor del enésimo término de la progresión? La suma nos llevaría más de una hora, y no es un hecho que no cometeremos errores al sumar números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Eche un vistazo más de cerca a la imagen dibujada... Seguramente ya habrás notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos en qué consiste el valor del término enésimo de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar usted mismo el valor de un miembro de una progresión aritmética determinada de esta manera.

¿Calculaste? Compara tus notas con la respuesta:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos secuencialmente los términos de la progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos “despersonalizar” esta fórmula; pongámosla en práctica. forma general y obtenemos:

Ecuación de progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas pueden ser crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Comprobemos esto en la práctica.
Se nos da progresión aritmética, que consiste en los siguientes números: Comprobemos cuál será el número enésimo de esta progresión aritmética si utilizamos nuestra fórmula para calcularlo:

Desde entonces:

Por tanto, estamos convencidos de que la fórmula opera tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar tú mismo los términos enésimo y enésimo de esta progresión aritmética.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos el problema: derivaremos la propiedad de la progresión aritmética.
Digamos que se nos da la siguiente condición:
- progresión aritmética, encuentra el valor.
Fácil, dices y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Vamos, ah, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo sumamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿qué pasa si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer un error en los cálculos.
Ahora piense si es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula. Por supuesto que sí, y eso es lo que intentaremos sacar a la luz ahora.

Denotamos el término requerido de la progresión aritmética como, conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, Entonces:

• el término anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Resumamos los términos anteriores y posteriores de la progresión:

Resulta que la suma de los términos de progresión anterior y posterior es el valor doble del término de progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un término de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos por.

Así es, tenemos el mismo número. Aseguremos el material. Calcula tú mismo el valor de la progresión, no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Sólo queda descubrir una fórmula que, según la leyenda, fue fácilmente deducida por uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el “rey de los matemáticos”: Karl Gauss...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, un profesor, ocupado revisando el trabajo de los estudiantes de otras clases, planteó el siguiente problema en clase: “Calcula la suma de todos números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive”. Imagínese la sorpresa del profesor cuando uno de sus alumnos (este era Karl Gauss) un minuto después dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros del temerario, después de largos cálculos, recibieron el resultado equivocado...

El joven Carl Gauss notó un cierto patrón que usted también puede notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de -ésimos términos: necesitamos encontrar la suma de estos términos de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si la tarea requiere encontrar la suma de sus términos, como buscaba Gauss?

Representemos la progresión que se nos ha dado. Mire más de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Lo has probado? ¿Qué notaste? ¡Bien! sus sumas son iguales

Ahora dime, ¿cuántos pares de este tipo hay en total en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, es decir.
Partiendo de que la suma de dos términos de una progresión aritmética es igual, y los pares semejantes son iguales, obtenemos que la suma total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas no conocemos el término décimo, pero conocemos la diferencia de la progresión. Intente sustituir la fórmula del enésimo término en la fórmula de la suma.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que le plantearon a Carl Gauss: calcula por ti mismo a qué es igual la suma de los números a partir del ésimo y la suma de los números a partir del ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss encontró que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Es eso lo que decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, personas ingeniosas aprovecharon al máximo las propiedades de la progresión aritmética.
Por ejemplo, imagina Antiguo Egipto y el proyecto de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide... La imagen muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí, dices? Mire con atención y encuentre un patrón en la cantidad de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Calcule cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes mientras mueves el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

EN en este caso La progresión se ve así: .
Diferencia de progresión aritmética.
El número de términos de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (calculemos el número de bloques de 2 formas).

Método 1.

Método 2.

Y ahora puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Entiendo? Bien hecho, dominas la suma de los enésimos términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no se puede construir una pirámide a partir de bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir un muro con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Capacitación

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces Masha hará sentadillas en una semana si las hizo en la primera sesión de entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares que contiene?
3. Al almacenar troncos, los registradores los apilan de tal manera que cada capa superior contiene un registro menos que el anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Respuesta: En dos semanas, Masha debería hacer sentadillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares es la mitad, sin embargo, verifiquemos este hecho usando la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituyamos los datos disponibles en la fórmula:

   Respuesta: La suma de todos los números impares contenidos en es igual.

3. Recordemos el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, entonces en total hay un montón de capas, es decir.
   Sustituyamos los datos en la fórmula:

   Respuesta: Hay troncos en la mampostería.

Resumámoslo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Puede ser creciente o decreciente.
2. Encontrar fórmula El décimo término de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.- - donde está el número de números en progresión.
4. La suma de los términos de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde está el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO

secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre podemos decir cuál es primero, cuál es segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Es decir, a cada número se le puede asociar un número natural determinado, y uno único. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con número se llama el ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente si el enésimo término de la secuencia se puede especificar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia es). O (, diferencia).

Fórmula enésimo término

Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para conocer el décimo término, es necesario conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el término enésimo de la progresión usando esta fórmula, tendremos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, déjalo. Entonces:

Bueno, ¿está claro ahora cuál es la fórmula?

En cada línea sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Cuál? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más conveniente ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentra la fórmula para el enésimo término y encuentra el centésimo término.

Solución:

El primer término es igual. ¿Cuál es la diferencia? Esto es lo que:

(Por eso se llama diferencia porque es igual a la diferencia de términos sucesivos de la progresión).

Entonces, la fórmula:

Entonces el centésimo término es igual a:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales desde hasta?

Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, cuando tenía 9 años, calculó esta cantidad en unos minutos. Se dio cuenta de que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de este tipo hay en total? Así es, exactamente la mitad de todos los números, es decir. Entonces,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos números de dos dígitos, múltiplos.

Solución:

El primero de esos números es este. Cada número subsiguiente se obtiene sumando al número anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

Fórmula del décimo término de esta progresión:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos tienen que ser de dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Respuesta: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el deportista corre más metros que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros totales correrá en una semana si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre cada día más kilómetros que el día anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días necesita viajar para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá durante el último día de su viaje?
3. El precio de un frigorífico en una tienda disminuye en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Debes determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Respuesta:
2. Aquí se da: , debe ser encontrado.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, entonces la respuesta es.
   Calculemos el camino recorrido durante el último día usando la fórmula del décimo término:
   (kilómetros).
   Respuesta:

3. Dado: . Encontrar: .
   No podría ser más sencillo:
   (frotar).
   Respuesta:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética puede ser creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

Fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética

está escrito por la fórmula, donde es el número de números en progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.

Le permite encontrar fácilmente un término de una progresión si se conocen sus términos vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

Suma de términos de una progresión aritmética

Hay dos formas de encontrar la cantidad:

¿Dónde está el número de valores?

¿Dónde está el número de valores?

Calculadora online.
Resolver una progresión aritmética.
Dado: a n , d , n
Encontrar: un 1

Este programa matemático encuentra \(a_1\) de una progresión aritmética basada en los números especificados por el usuario \(a_n, d\) y \(n\).
Los números \(a_n\) y \(d\) se pueden especificar no sólo como números enteros, sino también como fracciones. Además, un número fraccionario se puede ingresar como fracción decimal (\(2.5\)) y como fracción común(\(-5\frac(2)(7)\)).

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de búsqueda de una solución.

Esta calculadora en línea puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar números, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar números

Los números \(a_n\) y \(d\) se pueden especificar no sólo como números enteros, sino también como fracciones.
El número \(n\) sólo puede ser un número entero positivo.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
Las partes enteras y fraccionarias en fracciones decimales se pueden separar mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar decimales entonces 2,5 o así 2,5

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
Aporte:
Resultado: \(-\frac(2)(3)\)

La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Aporte:
Resultado: \(-1\frac(2)(3)\)

Introduzca los números a n , d, n

Encuentra un 1

Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver este problema no estaban cargados y es posible que el programa no funcione.
Es posible que tengas habilitado AdBlock.
En este caso, desactívelo y actualice la página.

JavaScript está deshabilitado en su navegador.
Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador.

Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola.
En unos segundos la solución aparecerá a continuación.
Espere por favor segundo...

Si usted Noté un error en la solución., entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios.
No lo olvide indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.

Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:

Un poco de teoría.

secuencia numérica

En la práctica cotidiana, se suele utilizar la numeración de varios objetos para indicar el orden en que están dispuestos. Por ejemplo, las casas de cada calle están numeradas. En la biblioteca, las suscripciones de los lectores están numeradas y luego ordenadas en el orden de los números asignados en archivos de tarjetas especiales.

EN caja de Ahorros Al utilizar el número de cuenta personal del depositante, puede encontrar fácilmente esta cuenta y ver qué tipo de depósito hay en ella. Deje que la cuenta número 1 contenga un depósito de a1 rublos, la cuenta número 2 contenga un depósito de a2 rublos, etc. secuencia numérica
un 1, un 2, un 3, ..., un norte
donde N es el número de todas las cuentas. Aquí, cada número natural n del 1 al N está asociado con un número an.

También estudió matemáticas. secuencias de números infinitos:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
El numero a 1 se llama primer término de la secuencia, número a 2 - segundo término de la secuencia, número a 3 - tercer término de la secuencia etc.
El número an se llama enésimo (enésimo) miembro de la secuencia, y el número natural n es su número.

Por ejemplo, en la secuencia de cuadrados de números naturales 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... y 1 = 1 es el primer término de la secuencia; y n = n 2 es enésimo término secuencias; a n+1 = (n + 1) 2 es el (n + 1)ésimo (n más el primero) término de la secuencia. A menudo, una secuencia se puede especificar mediante la fórmula de su enésimo término. Por ejemplo, la fórmula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) define la secuencia \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \puntos,\frac(1)(n) , \puntos \)

Progresión aritmética

La duración del año es de aproximadamente 365 días. Un valor más preciso es \(365\frac(1)(4)\) días, por lo que cada cuatro años se acumula un error de un día.

Para compensar este error, se añade un día cada cuatro años y el año extendido se denomina año bisiesto.

Por ejemplo, en el tercer milenio años bisiestos son los años 2004, 2008, 2012, 2016,... .

En esta secuencia, cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior, sumado al mismo número 4. Estas secuencias se llaman progresiones aritméticas.

Definición.
La secuencia numérica a 1, a 2, a 3, ..., an, ... se llama progresión aritmética, si por todo natural n la igualdad
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
donde d es algún número.

De esta fórmula se deduce que an+1 - an = d. El número d se llama diferencia. progresión aritmética.

Por definición de progresión aritmética tenemos:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
dónde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), donde \(n>1 \)

Así, cada término de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus dos términos adyacentes. Esto explica el nombre de progresión "aritmética".

Tenga en cuenta que si se dan a 1 y d, entonces los términos restantes de la progresión aritmética se pueden calcular usando la fórmula recurrente a n+1 = a n + d. De esta forma no es difícil calcular los primeros términos de la progresión, sin embargo, por ejemplo, un 100 ya requerirá muchos cálculos. Normalmente, para esto se utiliza la fórmula del enésimo término. Por definición de progresión aritmética.
\(a_2=a_1+d,\)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
En absoluto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
porque enésimo término de una progresión aritmética se obtiene del primer término sumando (n-1) por el número d.
Esta fórmula se llama fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.

Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

Encuentra la suma de todos los números naturales del 1 al 100.
Escribamos esta cantidad de dos maneras:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Sumemos estas igualdades término por término:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Esta suma tiene 100 términos.
Por lo tanto, 2S = 101 * 100, por lo tanto S = 101 * 50 = 5050.

Consideremos ahora una progresión aritmética arbitraria.
un 1, un 2, un 3, ..., un n, ...
Sea S n la suma de los primeros n términos de esta progresión:
S norte = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un norte
Entonces la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética es igual a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Dado que \(a_n=a_1+(n-1)d\), reemplazando una n en esta fórmula obtenemos otra fórmula para encontrar suma de los primeros n términos de una progresión aritmética:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Libros (libros de texto) Resúmenes del Examen Estatal Unificado y de las pruebas del Examen Estatal Unificado en línea Juegos, rompecabezas Trazar gráficos de funciones Diccionario ortográfico de la lengua rusa Diccionario de jerga juvenil Catálogo de escuelas rusas Catálogo de instituciones de educación secundaria de Rusia Catálogo de universidades rusas Lista de tareas

El concepto de secuencia numérica implica que cada número natural corresponde a algún valor real. Esta serie de números puede ser arbitraria o tener ciertas propiedades: una progresión. En el último caso, cada elemento (miembro) posterior de la secuencia se puede calcular utilizando el anterior.

Una progresión aritmética es una secuencia de valores numéricos en la que sus miembros vecinos difieren entre sí en el mismo número (todos los elementos de la serie, comenzando por el 2, tienen una propiedad similar). Este número (la diferencia entre los términos anterior y posterior) es constante y se llama diferencia de progresión.

Diferencia de progresión: definición

Considere una secuencia que consta de j valores A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pertenece al conjunto de los números naturales N. Una aritmética La progresión, según su definición, es una secuencia en la que a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. El valor d es la diferencia deseada de esta progresión.

d = a(j) – a(j-1).

Destacar:

• Una progresión creciente, en cuyo caso d > 0. Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresión decreciente, luego d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresión diferencial y sus elementos arbitrarios.

Si se conocen 2 términos arbitrarios de la progresión (i-ésimo, k-ésimo), entonces la diferencia para una secuencia determinada se puede determinar en función de la relación:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, lo que significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Diferencia de progresión y su primer término.

Esta expresión ayudará a determinar un valor desconocido solo en los casos en que se conozca el número del elemento de la secuencia.

Diferencia de progresión y su suma.

La suma de una progresión es la suma de sus términos. Para calcular el valor total de sus primeros j elementos, utilice la fórmula adecuada:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, pero desde a(j) = a(1) + d(j – 1), entonces S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Algunas personas tratan la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las ramas de las matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del taxímetro (donde todavía existen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que “comprender la esencia”) de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.

Secuencia numérica matemática

Una secuencia numérica generalmente se denomina serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

un 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo término de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el enésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de números y cifras. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del enésimo término está relacionado con su número ordinal mediante una relación que puede formularse claramente matemáticamente. En otras palabras: el valor numérico del enésimo número es alguna función de n.

a es el valor de un miembro de una secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función, donde el número ordinal de la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética suele denominarse secuencia numérica en la que cada término posterior es mayor (menor) que el anterior en el mismo número. La fórmula para el enésimo término de una secuencia aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - fórmula del siguiente número;

d - diferencia (cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie considerada será mayor que el anterior y dicha progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valor de miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de cualquier término arbitrario an de una progresión aritmética. Esto se puede hacer calculando secuencialmente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, comenzando desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, este camino no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cinco mil u ocho millones. Los cálculos tradicionales llevarán mucho tiempo. Sin embargo, se puede estudiar una progresión aritmética específica utilizando determinadas fórmulas. También existe una fórmula para el enésimo término: el valor de cualquier término de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer término de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del término deseado, reducida por uno.

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un término determinado.

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del enésimo término de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer término de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: necesitas encontrar el valor de 214 términos.

Solución: para determinar el valor de un término determinado utilizamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El término 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número determinado de términos

Muy a menudo, en una determinada serie aritmética, es necesario determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Para ello, tampoco es necesario calcular los valores de cada término y luego sumarlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma es necesario encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los términos de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma del primer y enésimo término, multiplicada por el número del término n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del enésimo término por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la secuencia es cero;

La diferencia es 0,5.

El problema requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Solución. Usemos la fórmula para determinar la cantidad de progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 términos de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Evidentemente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 de S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Así, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética.

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de una secuencia aritmética dado en el primer párrafo: un taxímetro (medidor de taxi). Consideremos este ejemplo.

Subir a un taxi (que incluye 3 km de recorrido) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro posterior se paga a razón de 22 rublos/km. La distancia recorrida es de 30 km. Calcula el coste del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

Número de miembro: el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 r.

el número que nos interesa es el valor del término (27+1) de la progresión aritmética: la lectura del medidor al final del kilómetro 27 es 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Los cálculos de datos del calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la estrella. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras áreas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es geométrica.

La progresión geométrica se caracteriza por mayores tasas de cambio en comparación con la progresión aritmética. No es casualidad que en política, sociología y medicina, para mostrar la alta velocidad de propagación de un fenómeno particular, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, digan que el proceso se desarrolla en progresión geométrica.

El enésimo término de la serie de números geométricos se diferencia del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer término es 1, el denominador es correspondientemente igual a 2, luego:

norte=1: 1 ∙ 2 = 2

norte=2: 2 ∙ 2 = 4

norte=3: 4 ∙ 2 = 8

norte=4: 8 ∙ 2 = 16

norte=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del término actual de la progresión geométrica;

b n+1 - fórmula del siguiente término de la progresión geométrica;

q es el denominador de la progresión geométrica (un número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces una progresión geométrica presenta una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, la progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un término arbitrario. Cualquier enésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término por el denominador de la progresión a la potencia de n reducido en uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encontremos el quinto término de la progresión.

segundo 5 = segundo 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

La suma de un número determinado de términos también se calcula mediante una fórmula especial. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del enésimo término de la progresión por su denominador y el primer término de la progresión, dividido por el denominador reducido por uno:

Si se reemplaza b n usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n términos de la serie numérica considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece en 3. Encontremos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Instrucciones

Una progresión aritmética es una secuencia de la forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Número d paso progresión.Es obvio que el general de un n-ésimo término arbitrario de la aritmética progresión tiene la forma: An = A1+(n-1)d. Entonces conociendo a uno de los miembros progresión, miembro progresión y paso progresión, puede, es decir, el número del miembro de progreso. Evidentemente vendrá determinado por la fórmula n = (An-A1+d)/d.

Que ahora se conozca el término enésimo. progresión y otro miembro progresión- nésimo, pero n , como en el caso anterior, pero se sabe que n y m no coinciden. progresión se puede calcular mediante la fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Entonces n = (An-Am+md)/d.

Si se conoce la suma de varios elementos de una ecuación aritmética progresión, así como su primero y su último, entonces también se puede determinar el número de estos elementos La suma de la aritmética. progresión será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Entonces n = 2S/(A1+An) - chdenov progresión. Utilizando el hecho de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula se puede reescribir como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir de esto podemos expresar n resolviendo una ecuación cuadrática.

Una secuencia aritmética es un conjunto ordenado de números, cada miembro del cual, excepto el primero, difiere del anterior en la misma cantidad. Este valor constante se llama diferencia de progresión o su paso y se puede calcular a partir de los términos conocidos de la progresión aritmética.

Instrucciones

Si los valores del primer y segundo o cualquier otro par de términos adyacentes se conocen a partir de las condiciones del problema, para calcular la diferencia (d) simplemente reste el anterior del término posterior. El valor resultante puede ser un número positivo o negativo; depende de si la progresión es creciente. En forma general, escribe la solución para un par arbitrario (aᵢ y aᵢ₊₁) de términos vecinos de la progresión de la siguiente manera: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para un par de términos de dicha progresión, uno de los cuales es el primero (a₁) y el otro es cualquier otro elegido arbitrariamente, también es posible crear una fórmula para encontrar la diferencia (d). Sin embargo, en este caso, se debe conocer el número de serie (i) de un miembro de la secuencia seleccionado arbitrariamente. Para calcular la diferencia, suma ambos números y divide el resultado resultante por el número ordinal de un término arbitrario reducido a uno. En general, escribe esta fórmula de la siguiente manera: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Si, además de un miembro arbitrario de una progresión aritmética con número ordinal i, se conoce otro miembro con número ordinal u, cambie la fórmula del paso anterior en consecuencia. En este caso, la diferencia (d) de la progresión será la suma de estos dos términos dividida por la diferencia de sus números ordinales: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La fórmula para calcular la diferencia (d) se vuelve algo más complicada si las condiciones del problema dan el valor de su primer término (a₁) y la suma (Sᵢ) de un número dado (i) de los primeros términos de la secuencia aritmética. Para obtener el valor deseado, se divide la suma por el número de términos que la componen, se resta el valor del primer número de la secuencia y se duplica el resultado. Divida el valor resultante por el número de términos que formaron la suma reducido en uno. En general, escribe la fórmula para calcular el discriminante de la siguiente manera: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).