Как упростить алгебраическое выражение. Уравнения онлайн
С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.
Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.
Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.
Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».
«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.
В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.
Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .
Также будет эквивалентно первым двум: .
Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.
Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.
Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .
При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.
Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.
Пример : от числа нужно отнять число .
Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .
То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.
Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».
Упростить выражение: .
Решение
1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .
2) Вычислим произведения: .
Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.
Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).
Для определения эквивалентного выражения необходимо:
1) выполнить все возможные действия,
2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.
Свойства сложения и вычитания:
1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.
Свойства умножения и деления
1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.
2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.
Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.
Вычислите:
Решение
1) Представим как
2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:
3) можно представить как и выполнить умножение:
4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:
Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .
Выполните действия:
1) 2)
Решение
1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.
2) Вынесем за скобки общий множитель
Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения
Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения
Третье из выражений ).
Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.
Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.
Пример 1. Упростить выражение
Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):
Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).
Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение
Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:
Упражнения
1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:
2. Разложить на множители.
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами :
- скобки;
- возведение в степень;
- умножение;
- деление;
- сложение;
- вычитание.
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные .
Несколько наглядных примеров :
- 8x 2 и 3x 2 - оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
- 4x 3 и 6x - а тут «х» имеет разную степень;
- 2y 7 и 33x 7 - содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение . Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку : множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений - даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей :
- 15x=3(5x);
- 60у 2 =(15y 2)4.
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются - в этом нет смысла .
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
- наличие скобок;
- дроби;
- корни.
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус - меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель . Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
- поиск и вынесение за скобки наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя;
- деление каждого верхнего элемента на знаменатель.
Когда выражение или его часть находится под корнем , первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак . Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение - попытаться разложить его на множители , часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
- эту операцию упрощения можно проводить с дробями, вынося её за знак как целиком, так и отдельно числитель или знаменатель;
- раскладывать и выносить за пределы корня часть суммы или разности нельзя ;
- при работе с переменными обязательно учитывайте её степень, она должна быть равной или кратной корню для возможности вынесения: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√(x);
- иногда допускается избавление от подкоренной переменной путём возведения её в дробную степень: √(y 3)=y 3/2 .
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
- Если между переменными стоит знак умножения - степени складываются.
- Когда они делятся друг на друга - из степени числителя вычитается она же знаменателя.
Единственное условие для такого упрощения - одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
- 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2 ;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 =0.
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам . И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
- возведение члена в степень обозначает умножение его на самого себя определённое количество раз, т. е. x 2 =x×x;
- деление аналогично: если разложить степень числителя и знаменателя, то часть переменных сократится, тогда как оставшиеся «собираются», что равносильно вычитанию.
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.