Преобразование выражений. Подробная теория (2019). Упрощение выражений
Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:
a + b + 4
С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.
Любая серьезная задача в математике сводится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.
Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.
Содержание урокаПеременные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными . Например, в выражении a +b + 4 переменными являются буквы a и b . Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a +b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных . Например, изменим значения переменных a и b . Для изменения значений используется знак равенства
a = 2, b = 3
Мы изменили значения переменных a и b . Переменной a присвоили значение 2 , переменной b присвоили значение 3 . В результате буквенное выражение a+b+4 обращается в обычное числовое выражение 2+3+4 значение которого можно найти:
Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b . Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3 , то мы получим 6
Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a×(b + c) можно записать a(b + c) . Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c)=ab+ac .
Коэффициенты
В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a . На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a .
Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a . Число 3 в этом произведении называют коэффициентом . Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a . Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а «, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a «
К примеру, если переменная a равна 5 , то значение выражения 3a будет равно 15.
3 × 5 = 15
Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).
Букв может быть несколько, например 5abc . Здесь коэффициентом является число 5 . Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc «.
Если вместо вместо переменных abc
подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc
будет равно 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Можно мысленно представить, как сначала перемножились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:
Знак коэффициента относится только к коэффициенту, и не относится к переменным.
Рассмотрим выражение −6b . Минус, стоящий перед коэффициентом 6 , относится только к коэффициенту 6 , и не относится к переменной b . Понимание этого факта позволит не ошибаться в будущем со знаками.
Найдем значение выражения −6b при b = 3 .
−6b −6×b . Для наглядности запишем выражение −6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5
Запишем выражение −6b в развёрнутом виде
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2
−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b , поэтому для наглядности запишем выражение −5×a+b в развёрнутом виде и подставим значения переменных a и b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab . В этом случае коэффициентом является единица:
но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab
Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1 . Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a . Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:
−1 × a = −1a
Здесь кроется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к «невидимой единице», а не к переменной a . Поэтому при решении задач следует быть внимательным.
К примеру, если дано выражение −a и нас просят найти его значение при a = 2 , то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2 , не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2 , то мы подставляем −2 вместо переменной a
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.
Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2 , b=3 и c=4
Выражение abc 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc a , b и c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2 , b=−3 и c=−4
Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Пример 6. Найти значение выражения − abc при a=3 , b=5 и c=7
Выражение − abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение − abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Пример 7. Найти значение выражения − abc при a=−2 , b=−4 и c=−3
Запишем выражение − abc в развёрнутом виде:
−abc = −1 × a × b × c
Подставим значение переменных a , b и c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Как определить коэффициент
Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень проста. Достаточно уметь правильно умножать числа.
Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.
Пример 1. 7m×5a×(−3)×n
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть, произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы (переменные):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
Коэффициент равен −105 . После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:
−105amn
Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Коэффициент равен 6.
Пример 3.
Определить коэффициент в выражении: 
Перемножим отдельно числа и буквы:
Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.
Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен неверно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, должна быть изучена на хорошем уровне.
Слагаемые в буквенных выражениях
При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минуса. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.
Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.
Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.
Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.
Например, если на доске будет записана разность a − b , то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые . А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b) . В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) становятся слагаемыми.
Подобные слагаемые
Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a . Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a . Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.
Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Эту операцию называют приведением подобных слагаемых .
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.
Например приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a . В данном случае, подобными являются все слагаемые. Сложим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Подобные слагаемые обычно приводят в уме и результат записывают сразу:
3a + 4a + 5a = 12a
Также, можно рассуждать следующим образом:
Было 3 переменные a , к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a
Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.
Пример 1. 3a + 2a + 6a + 8 a
Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8)×a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a
Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1 , который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:
2a + 1a
Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Запишем решение покороче:
2a + a = 3a
2a+a , можно рассуждать и по-другому:
Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a
Заменим вычитание сложением:
2a + (−a)
Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:
2a + (−1a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Обычно записывают короче:
2a − a = a
Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:
Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a
Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Запишем решение покороче:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b . Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.
Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a , можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b , можно подчеркнуть двумя линиями:
Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b .
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b
Заменим вычитание сложение там, где это можно:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b , подчеркнем двумя линиями:
Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.
Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Запишем решение покороче:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.
Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x
Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Теперь можно привести подобные слагаемые:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Запишем решение покороче:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.
Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)
В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t . В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Запишем решение покороче:
Упрощение выражений
«упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его проще и короче.
На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.
Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .
Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его проще» .
В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:
Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5
В итоге дробь упростилась до 0,5.
Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть «а что можно сделать?» . Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.
Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5
Но мы упростили выражение и получили новое упрощенное выражение . Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5
Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.
Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.
Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5
Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st .
Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2
Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b , затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b
Пример 3.
Упростить выражение 
Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:
Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:
Таким образом, выражение упростилось до −abc.
Данное решение можно записать покороче:
При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:
Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать , в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.
Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их
Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:
Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.
Пример 4.
Упростить выражение 
Таким образом, выражение упростилось до
Пример 5.
Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:
Таким образом, выражение упростилось до mn
.
Пример 6.
Упростить выражение 
Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:
Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:
Таким образом, выражение упростилось до
Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:
Пример 7.
Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:
Таким образом, выражение упростилось до abcd
. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:
Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.
Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.
Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b , то нельзя записывать следующим образом:
Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.
При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:
a = 2 , b = 3
Тогда значение выражения будет равно 22
5a + 4b = 5 × 2
+ 4 × 3
= 10 + 12 = 22
Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22 , во втором случае 120 . Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.
После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.
С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.
Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.
Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a
Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.
Пример 10.
Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Коэффициент был для удобства вычисления.
Таким образом, выражение упростилось до
Пример 11.
Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до .
В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело оно будет следующим образом:
Пример 12.
Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до
.
Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.
Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:
В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.
Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.
Тождества. Тождественно равные выражения
После того, как мы упростили любое выражение, оно становится проще и короче. Чтобы проверить, верно ли упрощено выражение, достаточно подставить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то выражение упрощено верно.
Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b . Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.
Пусть значения переменных a , b будут следующими:
a = 4 , b = 5
Подставим их в первое выражение 2a × 7b
Теперь подставим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения 2a×7b , а именно в выражение 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Видим, что при a=4 и b=5 значение первого выражения 2a×7b и значение второго выражения 14ab равны
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a=1 и b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Таким образом, при любых значениях переменных выражения 2a×7b и 14ab равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными .
Делаем вывод, что между выражениями 2a×7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению.
2a × 7b = 14ab
Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).
А равенство вида 2a×7b = 14ab называют тождеством .
Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.
Другие примеры тождеств:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.
Верные числовые равенства также являются тождествами. Например:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения .
Например, мы упростили выражение 2a × 7b , и получили более простое выражение 14ab . Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.
Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.
Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.
Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.
Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.
Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.
Задания для самостоятельного решения:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.
Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.
Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.
Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».
«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.
В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.
Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .
Также будет эквивалентно первым двум: 
.
Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.
Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.
Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .
При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.
Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.
Пример : от числа нужно отнять число .
Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .
То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.
Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».
Упростить выражение: .
Решение
1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .
2) Вычислим произведения: .
Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.
Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).
Для определения эквивалентного выражения необходимо:
1) выполнить все возможные действия,
2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.
Свойства сложения и вычитания:
1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.
Свойства умножения и деления
1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.
2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.
Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.
Вычислите:
Решение
1) Представим как
2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:
3) можно представить как и выполнить умножение:
4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:
Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .
Выполните действия:
1) 
2) 
Решение
1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.
2) Вынесем за скобки общий множитель
Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.
Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 {\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}} ).
Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте .
Шаги
Решение простейших задач со степенями
- 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
- 4 ∗ 4 = 16 {\displaystyle 4*4=16}
-
Умножьте полученный результат (в нашем примере 16) на следующее число. Каждый последующий результат будет пропорционально увеличиваться. В нашем примере умножьте 16 на 4. Вот так:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
- 16 ∗ 4 = 64 {\displaystyle 16*4=64}
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=64*4*4}
- 64 ∗ 4 = 256 {\displaystyle 64*4=256}
- 4 5 = 256 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=256*4}
- 256 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 256*4=1024}
- Продолжайте умножать результат перемножения первых двух чисел на следующее число до тех пор, пока не получите окончательный ответ. Для этого перемножайте первые два числа, а затем полученный результат умножайте на следующее число в последовательности. Этот метод справедлив для любой степени. В нашем примере вы должны получить: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024} .
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
-
Решите следующие задачи. Ответ проверьте при помощи калькулятора.
- 8 2 {\displaystyle 8^{2}}
- 3 4 {\displaystyle 3^{4}}
- 10 7 {\displaystyle 10^{7}}
-
На калькуляторе найдите клавишу, обозначенную как «exp», или « x n {\displaystyle x^{n}} », или «^». При помощи этой клавиши вы будете возводить число в степень. Вычислить степень с большим показателем вручную практически невозможно (например, степень 9 15 {\displaystyle 9^{15}} ), но калькулятор с легкостью справится с этой задачей. В Windows 7 стандартный калькулятор можно переключить в инженерный режим; для этого нажмите «Вид» –> «Инженерный». Для переключения в обычный режим нажмите «Вид» –> «Обычный».
- Проверьте полученный ответ при помощи поисковой системы (Google или Яндекс) . Воспользовавшись клавишей «^» на клавиатуре компьютера, введите выражение в поисковик, который моментально отобразит правильный ответ (и, возможно, предложит аналогичные выражения для изучения).
Сложение, вычитание, перемножение степеней
-
Складывать и вычитать степени можно только в том случае, если у них одинаковые основания. Если нужно сложить степени с одинаковыми основаниями и показателями, то вы можете заменить операцию сложения операцией умножения. Например, дано выражение 4 5 + 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}} . Помните, что степень 4 5 {\displaystyle 4^{5}} можно представить в виде 1 ∗ 4 5 {\displaystyle 1*4^{5}} ; таким образом, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} (где 1 +1 =2). То есть посчитайте число подобных степеней, а затем перемножьте такую степень и это число. В нашем примере возведите 4 в пятую степень, а затем полученный результат умножьте на 2. Помните, что операцию сложения можно заменить операцией умножения, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 {\displaystyle 3+3=2*3} . Вот другие примеры:
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 {\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 {\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 {\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}
-
При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (основание не меняется). Например, дано выражение x 2 ∗ x 5 {\displaystyle x^{2}*x^{5}} . В этом случае нужно просто сложить показатели, оставив основание без изменений. Таким образом, x 2 ∗ x 5 = x 7 {\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} . Вот наглядное объяснение этого правила:
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Например, дана степень . Так как показатели степени перемножаются, то (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}} . Смысл этого правила в том, что вы умножаете степень (x 2) {\displaystyle (x^{2})} саму на себя пять раз. Вот так:
- (x 2) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}}
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
- Так как основание одно и то же, показатели степени просто складываются: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}
-
Степень с отрицательным показателем следует преобразовать в дробь (в обратную степень). Не беда, если вы не знаете, что такое обратная степень. Если вам дана степень с отрицательным показателем, например, 3 − 2 {\displaystyle 3^{-2}} , запишите эту степень в знаменатель дроби (в числителе поставьте 1), а показатель сделайте положительным. В нашем примере: 1 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}} . Вот другие примеры:
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (основание при этом не меняется). Операция деления противоположна операции умножения. Например, дано выражение 4 4 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}} . Вычтите показатель степени, стоящей в знаменателе, из показателя степени, стоящей в числителе (основание не меняйте). Таким образом, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}} = 16 .
- Степень, стоящую в знаменателе, можно записать в таком виде: 1 4 2 {\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}} = 4 − 2 {\displaystyle 4^{-2}} . Помните, что дробь - это число (степень, выражение) с отрицательным показателем степени.
-
Ниже приведены некоторые выражения, которые помогут вам научиться решать задачи со степенями. Приведенные выражения охватывают материал, изложенный в этом разделе. Для того, чтобы увидеть ответ, просто выделите пустое пространство после знака равенства.
Решение задач с дробными показателями степени
-
Степень с дробным показателем (например, ) преобразуется в операцию извлечения корня. В нашем примере: x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} = x {\displaystyle {\sqrt {x}}} . Здесь неважно, какое число стоит в знаменателе дробного показателя степени. Например, x 1 4 {\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} - это корень четвертой степени из «х», то есть x 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} .
-
Если показатель степени представляет собой неправильную дробь, то такую степень можно разложить на две степени, чтобы упростить решение задачи. В этом нет ничего сложного - просто вспомните правило перемножения степеней. Например, дана степень . Превратите такую степень в корень, степень которого будет равна знаменателю дробного показателя, а затем возведите этот корень в степень, равную числителю дробного показателя. Чтобы сделать это, вспомните, что 5 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}} = (1 3) ∗ 5 {\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} . В нашем примере:
- x 5 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}
- x 1 3 = x 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
- x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x 3) 5 {\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}
- На некоторых калькуляторах есть кнопка для вычисления степеней (сначала нужно ввести основание, затем нажать кнопку, а затем ввести показатель). Она обозначается как ^ или x^y.
- Помните, что любое число в первой степени равно самому себе, например, 4 1 = 4. {\displaystyle 4^{1}=4.} Более того, любое число, умноженное или разделенное на единицу, равно самому себе, например, 5 ∗ 1 = 5 {\displaystyle 5*1=5} и 5 / 1 = 5 {\displaystyle 5/1=5} .
- Знайте, что степени 0 0 не существует (такая степень не имеет решения). При попытке решить такую степень на калькуляторе или на компьютере вы получите ошибку. Но помните, что любое число в нулевой степени равно 1, например, 4 0 = 1. {\displaystyle 4^{0}=1.}
- В высшей математике, которая оперирует мнимыми числами: e a i x = c o s a x + i s i n a x {\displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е - константа, примерно равная 2,7; а - произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.
Предупреждения
- При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .
-
Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень 3 4 {\displaystyle 3^{4}} . В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 {\displaystyle 3*3*3*3} . Вот другие примеры:
Для начала перемножьте первые два числа. Например, 4 5 {\displaystyle 4^{5}} = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4*4*4*4*4} . Не волнуйтесь - процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так:
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 - будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| - | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку "корня" производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку "возведение в квадрат" производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка "%" |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле "Решение" выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение "0" |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Вычитание целых натуральных чисел { 7 - 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 - (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 - 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Вычисление процентов от числа
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }