Teng asosli logarifmlarni qanday yechish mumkin. Logarifmlarning asosiy xossalari

ga nisbatan

qolgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Agar a va keyin N berilgan bo'lsa, ular daraja ko'tarish yo'li bilan topiladi. Agar N va keyin a x darajaning ildizini olish (yoki uni darajaga ko'tarish) bilan berilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda biz x ni topishimiz kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik.

N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .

Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi

Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich a asosga N ning logarifmi sifatida topiladi. Xabarlar

bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; haqiqatda logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. tomonidan bu ta'rif Logarifmning asosi a har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmik N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa asoslanmaydi, chunki x va y ning har qanday qiymatlari uchun tenglik to'g'ri.

Misol 1. Toping

Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani quvvatga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.

Bunday misollarni echishda siz quyidagi shaklda eslatma qilishingiz mumkin:

2-misol. Toping.

Yechim. Bizda ... bor

1 va 2-misollarda logarifm sonini asosning ratsional darajali darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir masalaga e'tibor qaratamiz. 12-bandda biz berilganning har qanday haqiqiy darajasini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik ijobiy raqam. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.

Keling, logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.

Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha bizda va qayerdan bo'lsin

Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin

2 xossa. Birning har qanday asosga logarifmi nolga teng.

Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan

Q.E.D.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .

Logarifmlarning keyingi xossasini shakllantirishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu raqamlardan biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo'lsa, biz ular bilan birga yotadi deb aytamiz. turli tomonlar qishloqdan

3-xususiyat. Agar son va asos bittaning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; Agar raqam va asos birining qarama-qarshi tomonida bo'lsa, u holda logarifm manfiy bo'ladi.

3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lsa, a ning kuchi birdan katta bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, kuch birdan kichik bo'ladi.

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:

Biz ularning birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.

Demak, tenglikda ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lishi mumkin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi talab qilinganidek.

3-misol. Quyidagi logarifmlardan qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:

Yechim, a) 15 soni va 12 ta asosi bitta tomonda joylashganligi uchun;

b) chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; bu holda, asosning logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;

v) 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;

G) ; Nega?

d) ; Nega?

Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifmatsiya qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilish, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi va kuchining logarifmlarini topishga imkon beradi.

4-xususiyat (mahsulot logarifmi qoidasi). Bir necha musbat sonlarning berilgan asosga ko‘paytmasining logarifmi shu sonlarning bir xil asosga bo‘lgan logarifmlari yig‘indisiga teng.

Isbot. Berilgan raqamlar ijobiy bo'lsin.

Ularning mahsulotining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:

Bu yerdan biz topamiz

Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:

E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz

Umuman olganda, agar bir nechta omillarning mahsuloti ijobiy bo'lsa, uning logarifmi ushbu omillarning mutlaq qiymatlari logarifmlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

5-xususiyat (ko'rsatkichlarning logarifmlarini olish qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosga olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Biz doimiy ravishda topamiz

Q.E.D.

6-xususiyat (quvvat logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko'rsatkichga ko'paytirishga teng.

Isbot. Raqamning asosiy identifikatorini (26.1) qayta yozamiz:

Q.E.D.

Natija. Ijobiy sonning ildizining logarifmi ildizning ko'rsatkichiga bo'lingan radikalning logarifmiga teng:

Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va qanday ishlatishni tasavvur qilish orqali isbotlash mumkin.

4-misol. a asosi uchun logarifmni oling:

a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);

b) (taxmin qilinadi).

Yechim, a) Ushbu ifodada kasr darajalariga o'tish qulay:

(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:

Biz raqamlarning logarifmlari ustida raqamlarning o'ziga qaraganda soddaroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'lishda ular ayiriladi va hokazo.

Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llaniladi (29-bandga qarang).

Logarifmning teskari harakati potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsiallash - bu sonning berilgan logarifmasidan sonning o'zi topilgan harakat. Aslida, potentsiallashtirish hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani kuchga ko'tarishdan iborat ( logarifmga teng raqamlar). "Potensiyalash" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.

Potentsiyalashda siz logarifmlash qoidalariga teskari qoidalarni qo'llashingiz kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar oldinda omil mavjud bo'lsa. logarifm belgisining belgisi bo'lsa, u holda potensiyalash paytida uni logarifm belgisi ostida ko'rsatkich darajalariga o'tkazish kerak.

5-misol. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping

Yechim. Potentsiyalashning hozirgina bayon qilingan qoidasi bilan bog'liq holda, biz ushbu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida turgan 2/3 va 1/3 ko'paytmalarni ushbu logarifmlarning belgilari ostida ko'rsatkichlarga o'tkazamiz; olamiz

Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:

bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-band).

Mulk 7. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda kattaroq raqam kattaroq logarifmaga ega (va kichikroq raqam kichikroq bo'ladi), agar asos birdan kichik bo'lsa, u holda kattaroq raqam kichikroq logarifmaga ega (va kichikroq raqam kattaroq).

Bu xususiyat, shuningdek, ikkala tomoni ijobiy bo'lgan tengsizliklarning logarifmlarini olish qoidasi sifatida tuzilgan:

Tengsizliklarning logarifmlarini birdan katta asosga olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifmlashda esa tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi (80-bandga ham qarang).

Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmlarni olib, olingan holatni ko'rib chiqing.

(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan

Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.

Ko'rsatmalar

Berilgan logarifmik ifodani yozing. Agar ifoda 10 ning logarifmini ishlatsa, uning yozuvi qisqartiriladi va quyidagicha ko'rinadi: lg b o'nlik logarifm. Agar logarifmning asosi sifatida e soni bo'lsa, u holda ifodani yozing: ln b - natural logarifm. Har qanday ning natijasi b sonini olish uchun asosiy sonni ko'tarish kerak bo'lgan kuch ekanligi tushuniladi.

Ikki funktsiya yig'indisini topishda ularni birma-bir farqlash va natijalarni qo'shish kifoya: (u+v)" = u"+v";

Ikki funktsiya ko'paytmasining hosilasini topishda birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisiga ko'paytirish va ikkinchi funktsiyaning hosilasini birinchi funktsiyaga ko'paytirishni qo'shish kerak: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini topish uchun dividendning hosilasini bo'luvchi funktsiyaga ko'paytiruvchi hosilasidan bo'linuvchining hosilasining dividend funktsiyasiga ko'paytmasini ayirish va bo'lish kerak. bularning barchasi bo'linuvchi funktsiyaning kvadratiga ko'ra. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Berilgan bo'lsa murakkab funktsiya, keyin ichki funktsiyaning hosilasini va tashqi funktsiyaning hosilasini ko'paytirish kerak. y=u(v(x)), keyin y"(x)=y"(u)*v"(x) bo'lsin.

Yuqorida olingan natijalardan foydalanib, siz deyarli har qanday funktsiyani farqlashingiz mumkin. Shunday qilib, keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Bir nuqtada hosilani hisoblash bilan bog'liq muammolar ham mavjud. y=e^(x^2+6x+5) funksiya berilsin, funksiyaning x=1 nuqtadagi qiymatini topish kerak.
1) Funktsiyaning hosilasini toping: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) funksiyaning qiymatini hisoblang berilgan nuqta y"(1)=8*e^0=8

Mavzu bo'yicha video

Foydali maslahat

Elementar hosilalar jadvali bilan tanishing. Bu vaqtni sezilarli darajada tejaydi.

Manbalar:

• doimiyning hosilasi

Xo'sh, o'rtasidagi farq nima ratsional tenglama ratsionaldan? Agar noma'lum o'zgaruvchi kvadrat ildiz belgisi ostida bo'lsa, u holda tenglama irratsional deb hisoblanadi.

Ko'rsatmalar

Bunday tenglamalarni yechishning asosiy usuli har ikki tomonni qurish usuli hisoblanadi tenglamalar kvadratga. Biroq. bu tabiiy, birinchi narsa qilish kerak - bu belgidan xalos bo'lish. Bu usul texnik jihatdan qiyin emas, lekin ba'zida muammoga olib kelishi mumkin. Masalan, tenglama v(2x-5)=v(4x-7). Ikkala tomonni kvadratga aylantirib, siz 2x-5 = 4x-7 olasiz. Bunday tenglamani yechish qiyin emas; x=1. Lekin 1 raqami berilmaydi tenglamalar. Nega? Tenglamada x qiymati o'rniga bittasini qo'ying Va o'ng va chap tomonlarda mantiqiy bo'lmagan ifodalar bo'ladi, ya'ni. Bu qiymat kvadrat ildiz uchun to'g'ri kelmaydi. Demak, 1 - begona ildiz va shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Demak, irratsional tenglama uning ikkala tomonini kvadratga solish usuli yordamida yechiladi. Va tenglamani hal qilgandan so'ng, begona ildizlarni kesib tashlash kerak. Buning uchun topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtiring.

Boshqasini ko'rib chiqing.
2x+vx-3=0
Albatta, bu tenglamani oldingi tenglama yordamida yechish mumkin. Murakkablarni ko'chirish tenglamalar, kvadrat ildizga ega bo'lmagan, o'ng tomonga va keyin kvadrat usulidan foydalaning. olingan ratsional tenglama va ildizlarni yeching. Ammo yana bir, yanada oqlangan. Yangi o'zgaruvchini kiriting; vx=y. Shunga ko'ra, siz 2y2+y-3=0 ko'rinishdagi tenglamani olasiz. Ya'ni, odatiy kvadrat tenglama. Uning ildizlarini toping; y1=1 va y2=-3/2. Keyin ikkitasini hal qiling tenglamalar vx=1; vx=-3/2. Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, birinchidan biz x=1 ekanligini topamiz. Ildizlarni tekshirishni unutmang.

Identifikatsiyani hal qilish juda oddiy. Buning uchun belgilangan maqsadga erishilgunga qadar bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish kerak. Shunday qilib, oddiy arifmetik amallar yordamida qo'yilgan masala yechiladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - qog'oz;
• - qalam.

Ko'rsatmalar

Bunday o'zgartirishlarning eng oddiylari algebraik qisqartirilgan ko'paytirishdir (masalan, yig'indining kvadrati (farq), kvadratlar ayirmasi, yig'indisi (farq), yig'indining kubi (farq)). Bundan tashqari, juda ko'p trigonometrik formulalar, ular asosan bir xil identifikatsiyalardir.

Darhaqiqat, ikki had yig'indisining kvadrati birinchisining kvadratiga plyus birinchisining ikkinchisiga ko'paytmasining ikki barobariga va ikkinchisining kvadratiga plyus, ya'ni (a+b)^2= (a+)ga teng. b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Ikkalasini ham soddalashtiring

Yechimning umumiy tamoyillari

Matematik analiz yoki oliy matematika darsligidan aniq integral nima ekanligini takrorlang. Ma'lumki, aniq integralning yechimi hosilasi integral beradigan funktsiyadir. Bu funktsiya antiderivativ deb ataladi. Ushbu tamoyilga asoslanib, asosiy integrallar tuziladi.
Jadval integrallaridan qaysi biri mos kelishini integrasiya shakliga ko‘ra aniqlang Ushbu holatda. Buni darhol aniqlash har doim ham mumkin emas. Ko'pincha jadval shakli integralni soddalashtirish uchun bir nechta o'zgarishlardan so'ng sezilarli bo'ladi.

O'zgaruvchilarni almashtirish usuli

Agar integral funktsiya bo'lsa trigonometrik funktsiya, argumenti ba'zi polinomni o'z ichiga oladi, keyin o'zgaruvchini almashtirish usulidan foydalaning. Buning uchun integrand argumentidagi ko‘phadni qandaydir yangi o‘zgaruvchi bilan almashtiring. Yangi va eski o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarga asoslanib, integratsiyaning yangi chegaralarini aniqlang. Bu ifodani farqlash orqali yangi differentsialni toping. Shunday qilib, olasiz yangi tur oldingi integralning istalgan jadvaliga yaqin yoki hatto mos keladigan integral.

Ikkinchi turdagi integrallarni yechish

Agar integral ikkinchi turdagi integral bo'lsa, integralning vektor ko'rinishi bo'lsa, unda bu integrallardan skalyarlarga o'tish qoidalaridan foydalanish kerak bo'ladi. Shunday qoidalardan biri Ostrogradskiy-Gauss munosabatidir. Ushbu qonun bizga ma'lum vektor funktsiyasining rotor oqimidan berilgan vektor maydonining divergensiyasi ustidan uch karra integralga o'tishga imkon beradi.

Integratsiya chegaralarini almashtirish

Antiderivativni topgandan so'ng, integratsiya chegaralarini almashtirish kerak. Birinchidan, yuqori chegara qiymatini antiderivativ ifodaga almashtiring. Siz biron bir raqam olasiz. Keyinchalik, natijada olingan raqamdan pastki chegaradan olingan boshqa raqamni antiderivativga olib tashlang. Agar integratsiya chegaralaridan biri cheksizlik bo'lsa, uni antiderivativ funktsiyaga almashtirishda chegaraga o'tish va ifoda nimaga moyilligini topish kerak.
Agar integral ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lsa, unda integralni qanday baholashni tushunish uchun siz integral chegaralarini geometrik tarzda ifodalashingiz kerak bo'ladi. Haqiqatan ham, aytaylik, uch o'lchovli integralda, integratsiya chegaralari integrallanayotgan hajmni cheklaydigan butun tekisliklar bo'lishi mumkin.

Logarifmik ifodalar, misollar yechish. Ushbu maqolada biz logarifmlarni yechish bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Vazifalarda ifoda ma'nosini topish masalasi qo'yiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, logarifm tushunchasi ko'plab vazifalarda qo'llaniladi va uning ma'nosini tushunish juda muhimdir. Yagona davlat imtihoniga kelsak, logarifm tenglamalarni echishda, amaliy masalalarda, shuningdek funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq vazifalarda qo'llaniladi.

Logarifmning ma'nosini tushunish uchun misollar keltiramiz:

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

Logarifmlarning har doim esda qolishi kerak bo'lgan xususiyatlari:

*Ko‘paytmaning logarifmi omillarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

* * *

*Qismning (kasr) logarifmi omillarning logarifmlari orasidagi farqga teng.

* * *

*Ko‘rsatkichning logarifmi ko‘rsatkichi va asosining logarifmi ko‘paytmasiga teng.

* * *

*Yangi poydevorga o'tish

* * *

Ko'proq xususiyatlar:

* * *

Logarifmlarni hisoblash ko'rsatkichlarning xossalarini qo'llash bilan chambarchas bog'liq.

Keling, ulardan ba'zilarini sanab o'tamiz:

Bu xossaning mohiyati shundan iboratki, hisoblagich maxrajga va aksincha o‘tkazilganda ko‘rsatkich belgisi teskari tomonga o‘zgaradi. Masalan:

Bu xususiyatdan xulosa:

* * *

Quvvatni kuchga ko'tarishda asos bir xil bo'lib qoladi, lekin ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

* * *

Ko'rib turganingizdek, logarifm tushunchasining o'zi oddiy. Asosiysi, sizga ma'lum mahorat beradigan yaxshi amaliyot kerak. Albatta, formulalarni bilish talab qilinadi. Agar elementar logarifmlarni o'zgartirish mahorati rivojlanmagan bo'lsa, unda oddiy vazifalarni hal qilishda siz osongina xato qilishingiz mumkin.

Amaliyot qiling, avval matematika kursidan eng oddiy misollarni yeching, so'ngra murakkabroq misollarga o'ting. Kelajakda men "qo'rqinchli" logarifmlar qanday echilganini aniq ko'rsataman, ular Yagona davlat imtihonida ko'rinmaydi, lekin ular qiziqish uyg'otadi, ularni o'tkazib yubormang!

Ana xolos! Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

A asosli logarifm y ning funksiyasidir (x) = log a x, a asosli ko'rsatkichli funktsiyaga teskari: x (y) = a y.

O'nlik logarifm son asosining logarifmidir 10 : log x ≡ log 10 x.

Tabiiy logarifm e ning asosining logarifmi: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Logarifmning grafigi ko‘rsatkichli funksiya grafigidan uni y = x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan aks ettirib olinadi. Chap tomonda y funksiyaning grafiklari joylashgan (x) = log a x to'rtta qiymat uchun logarifm asoslari: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 va a = 1/8 . Grafik shuni ko'rsatadiki, a > bo'lganda 1 logarifm monoton ravishda ortadi. X ortishi bilan o'sish sezilarli darajada sekinlashadi. Da 0 < a < 1 logarifm monoton ravishda kamayadi.

Logarifmning xossalari

Domen, qiymatlar to‘plami, ortib borayotgan, kamayuvchi

Logarifm monotonik funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q. Logarifmning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Domen	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monoton ravishda ortadi	monoton ravishda kamayadi
Nollar, y = 0	x = 1	x = 1
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	Yo'q	Yo'q
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Shaxsiy qadriyatlar

10 ta asosiy logarifm deyiladi o'nlik logarifm va quyidagicha ifodalanadi:

Logarifmdan asosga e chaqirdi tabiiy logarifm:

Logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiyani aniqlashdan kelib chiqadigan logarifmning xususiyatlari:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Logarifm logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.

Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Logarifmlar uchun asosiy formulalarni isbotlash

Logarifmlar bilan bog'liq formulalar ko'rsatkichli funktsiyalar formulalaridan va teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatini ko'rib chiqing
.
Keyin
.
Ko‘rsatkichli funksiyaning xossasini qo‘llaymiz
:
.

Keling, bazani almashtirish formulasini isbotlaylik.
;
.
c = b deb faraz qilsak, bizda:

Teskari funksiya

a asosi uchun logarifmning teskarisi eksponensial funktsiya a ko'rsatkichi bilan.

Agar , keyin

Agar , keyin

Logarifmning hosilasi

X modulining logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Logarifmaning hosilasini topish uchun uni asosga qisqartirish kerak e.
;
.

Integral

Logarifmning integrali qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi: .
Shunday qilib,

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
.
Kompleks sonni ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Keyin, logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki

Biroq, argument φ yagona belgilanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
keyin u har xil uchun bir xil raqam bo'ladi n.

Demak, logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Ushbu maqolaning diqqat markazida logarifm. Bu yerda logarifmning ta’rifini beramiz, qabul qilingan yozuvni ko‘rsatamiz, logarifmalarga misollar keltiramiz, natural va o‘nlik logarifmlar haqida gapiramiz. Shundan so'ng biz asosiy logarifmik identifikatsiyani ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Logarifmning ta'rifi

Logarifm tushunchasi muammoni ma'lum bir teskari ma'noda hal qilishda, ko'rsatkichni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi. ma'lum qiymat daraja va ma'lum asos.

Ammo so'zboshilari etarli, "logarifm nima" degan savolga javob berish vaqti keldi? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

b ning a asosiga logarifmi, bu erda a>0, a≠1 va b>0 ko'rsatkich bo'lib, natijada b olish uchun a sonini ko'tarish kerak.

Ushbu bosqichda biz "logarifm" so'zi darhol ikkita keyingi savolni keltirib chiqarishi kerakligini ta'kidlaymiz: "qanday raqam" va "qanday asosda". Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, oddiygina logarifm yo'q, faqat raqamning ba'zi bir asosga logarifmi.

Keling, darhol kiramiz logarifm yozuvi: b sonining a asosiga logarifmi odatda log a b sifatida belgilanadi. b sonining e asosiga logarifmi va 10 asosining logarifmi mos ravishda lnb va logb ning o'ziga xos maxsus belgilariga ega, ya'ni ular log e b emas, balki lnb va log 10 b emas, balki lgb deb yozadilar.

Endi biz berishimiz mumkin: .
Va yozuvlar mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida logarifm belgisi ostida manfiy son, ikkinchisida asosda manfiy son, uchinchisida logarifm belgisi ostida manfiy son va birlik mavjud. asos.

Endi gaplashaylik logarifmlarni o'qish qoidalari. Log a b yozuvi "b ning a asosiga logarifmi" deb o'qiladi. Masalan, log 2 3 - 2-asosning uchta logarifmi va 2-sonli ikki nuqtaning uchdan ikki qismining logarifmi. Kvadrat ildiz beshdan. e asosining logarifmi deyiladi tabiiy logarifm, va lnb yozuvi "b ning natural logarifmini" o'qiydi. Misol uchun, ln7 - ettitaning natural logarifmi va biz uni pi ning natural logarifmi sifatida o'qiymiz. 10 ta asosiy logarifm ham maxsus nomga ega - o'nlik logarifm, va lgb "b ning o'nlik logarifmi" sifatida o'qiladi. Misol uchun, lg1 - birning o'nlik logarifmi va lg2.75 - ikki nuqtaning etti besh yuzdan birining o'nlik logarifmi.

Logarifmning ta'rifi berilgan a>0, a≠1 va b>0 shartlar haqida alohida to'xtalib o'tish joiz. Keling, ushbu cheklovlar qaerdan kelib chiqqanligini tushuntirib beraylik. Yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadigan shaklning tengligi bizga yordam beradi.

a≠1 dan boshlaylik. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, tenglik faqat b=1 bo'lganda to'g'ri bo'lishi mumkin, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin. Bu noaniqlikni oldini olish uchun a≠1 qabul qilinadi.

a>0 shartining maqsadga muvofiqligini asoslab beramiz. a=0 bilan, logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz tenglikka ega bo'lamiz, bu faqat b=0 bilan mumkin. Ammo log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan kuch nolga teng. a≠0 sharti bizga bu noaniqlikdan qochish imkonini beradi. Va qachon a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nihoyat, a>0 tengsizlikdan b>0 sharti kelib chiqadi, chunki , va musbat asosli darajaning qiymati har doim musbat bo'ladi.

Ushbu fikrni yakunlash uchun, aytaylik, logarifmning belgilangan ta'rifi logarifm belgisi ostidagi raqam asosning ma'lum bir kuchi bo'lsa, darhol logarifm qiymatini ko'rsatishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifmning ta'rifi, agar b=a p bo'lsa, b sonining a asosi uchun logarifmi p ga teng ekanligini aytishga imkon beradi. Ya'ni log a a p =p tengligi to'g'ri. Masalan, 2 3 =8, keyin log 2 8=3 ekanligini bilamiz. Bu haqda maqolada ko'proq gaplashamiz.