Векторное произведение - определения, свойства, формулы, примеры и решения. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

Определение. Векторным произведением вектора а (множимое) на не коллинеарный ему вектор (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма на рис. 155), построенного на векторах т. е. он равен направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма;

3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы с составляли правую систему (§ 110).

Обозначение: или

Дополнение к определению. Если векторы коллинеарны, то фигуре считая ее (условно) параллелограммом, естественно приписать нулевую площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору.

Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление, это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.

Замечание 1. В термине «векторное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор (в противоположность скалярному произведению; ср. § 104, замечание 1).

Пример 1. Найти векторное произведение где основные векторы правой системы координат (рис. 156).

1. Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма (квадрата) численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.

2. Так как перпендикуляр к плоскости есть ось то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору к; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.

3. Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы к образуют правую систему (а векторы левую).

Пример 2. Найти векторное произведение

Решение. Как в примере 1, заключаем, что вектор равен либо k, либо -k. Но теперь надо выбрать -k, так как векторы образуют правую систему (а векторы левую). Итак,

Пример 3. Векторы имеют длины, соответственно равные 80 и 50 см, и образуют угол 30°. Приняв за единицу длины метр, найти длину векторного произведения а

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна Длина искомого векторного произведения равна

Пример 4. Найти длину векторного произведения тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.

Решение. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах равна то длина векторного произведения равна 2000 см, т. е.

Из сравнения примеров 3 и 4 видно, что длина вектора зависит не только от длин сомножителей но также и от выбора единицы длины.

Физический смысл векторного произведения. Из многочисленных физических величин, изображаемых векторным произведением, рассмотрим только момент силы.

Пусть А есть точка приложения силы Моментом силы относителько точки О называется векторное произведение Так как модуль этого векторного произведения численно равен площади параллелограмма (рис. 157), то модуль момента равняется произведению основания на высоту т. е. силе, умноженной на расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила.

В механике доказывается, что для равновесия твердого тела необходимо, чтобы равнялась нулю не только сумма векторов , представляющих силы, приложенные к телу, но также и сумма моментов сил. В том случае, когда все силы параллельны одной плоскости, сложение векторов, представляющих моменты, можно заменить сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное произведение определяется именно как вектор, а не как число.

Единичный вектор - это вектор , абсолютная величина (модуль) которого равен единице. Для обозначения единичного вектора мы будем использовать нижний индекс е. Так, если задан вектор а , то его единичным вектором будет вектор а е. Этот единичный вектор направлен туда же, куда направлен и сам вектор а , и его модуль равен единице, то есть а е = 1.

Очевидно, а = а·а е (а - модуль вектора а) . Это следует из правила, по которому выполняется операция умножения скаляра на вектор .

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Направления этих векторов совпадают с направлениями соответствующих осей, а их начала часто совмещают с началом системы координат.

Напомню, что декартовой системой координат в пространстве традиционно называется тройка взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке, которая называется началом координат. Координатные оси обычно обозначают буквами X , Y , Z и называют соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Сам Декарт пользовался только одной осью, на которой откладывались абсциссы. Заслуга использования системы осей принадлежит его ученикам. Поэтому фраза декартова система координат исторически ошибочна. Лучше говорить прямоугольная система координат или ортогональная система координат . Тем не менее, изменять традиции мы не станем и в дальнейшем будем считать, что декартова и прямоугольная (ортогональная) системы координат - это одно и то же.

Единичный вектор , направленный вдоль оси Х, обозначается i , единичный вектор , направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор , направленный вдоль оси Z, обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами (рис. 12, слева), они имеют единичные модули, то есть
i = 1, j = 1, k = 1.

Оси и орты прямоугольной системы координат в некоторых случаях имеют другие названия и обозначения. Так, ось абсцисс X может называться касательной осью, а ее орт обозначается τ (греческая строчная буква тау), ось ординат - осью нормали, ее орт обозначается n , ось аппликат - осью бинормали, ее орт обозначается b . Зачем менять названия, если суть остается той же?

Дело в том, что, например, в механике при изучении движения тел прямоугольная система координат используется очень часто. Так вот, если сама система координат неподвижна, а изменение координат движущегося объекта отслеживается в этой неподвижной системе, то обычно оси обозначают X, Y, Z, а их орты соответственно i , j , k .

Но нередко, когда объект движется по какой-то криволинейной траектории (например, по окружности) бывает удобнее рассматривать механические процессы в системе координат, движущейся с этим объектом. Именно для такой движущейся системы координат и используются другие названия осей и их ортов. Просто так принято. В этом случае ось X направляют по касательной к траектории в той ее точке, в которой в данный момент этот объект находится. И тогда эту ось называют уже не осью X, а касательной осью, а ее орт обозначают уже не i , а τ . Ось Y направляют по радиусу кривизны траектории (в случае движения по окружности - к центру окружности). А поскольку радиус перпендикулярен касательной, то ось называют осью нормали (перпендикуляр и нормаль - это одно и то же). Орт этой оси обозначают уже не j , а n . Третья ось (бывшая Z) перпендикулярна двум предыдущим. Это - бинормаль с ортом b (рис. 12, справа). Кстати, в этом случае такую прямоугольную систему координат часто называют «естественной» или натуральной.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a → ​​​​ и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k →

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ - произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Ответ: 15 2 2 .

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ответ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i → - j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → - j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i → - j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Следовательно, векторное произведение i → - j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; - 1 ; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Ответ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.

Решение

Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → ​​​​​ и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Ответ: - 6 i → + j → - 4 k → . - один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Из антикоммутативности векторного произведения следует - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = - 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Ответ: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма - удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах

, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Определение Упорядоченную совокупность (x 1 , x 2 , ... , x n) n вещественных чисел называют n-мерным вектором , а числа x i (i = ) - компонентами, или координатами,

Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или . Два вектора называются равными , если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) и (2, 3, 5, 0, 1) разные вектора.
Операции над векторами. Произведением x = (x 1 , x 2 , ... ,x n) на действительное число λ называется вектор λ x = (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

Суммой x = (x 1 , x 2 , ... ,x n) и y = (y 1 , y 2 , ... ,y n) называется вектор x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Пространство векторов. N -мерное векторное пространство R n определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров ). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x 1 , x 2 , ..., x n),

где через x i обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = }.

Линейная независимость. Система e 1 , e 2 , ... , e m n-мерных векторов называется линейно зависимой , если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , ... , λ m , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой , то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все . Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R 3 , интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны (параллельны).

Теорема 3 . Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (лежали в одной плоскости).

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой , если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка . Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка e 1, e 2 , e 3 некомпланарных векторов в R 3 называется базисом , а сами векторы e 1, e 2 , e 3 - базисными . Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

числа x 1 , x 2 , x 3 в разложении (1.1) называются координатами a в базисе e 1, e 2 , e 3 и обозначаются a (x 1 , x 2 , x 3).

Ортонормированный базис. Если векторы e 1, e 2 , e 3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным , а координаты x 1 , x 2 , x 3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R 3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Векторное произведение. Векторным произведением а на вектор b называется вектор c , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е.
c = |a||b| sin (a ^b ).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab ] или
c = a × b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b ) = 0 и [ab ] = 0, в частности, [aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ij ]= k, [jk ] = i , [ki ]= j .

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a 1 , a 2 , a 3), b (b 1 , b 2 , b 3), то

Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a (a 1 , a 2 , a 3), b (b 1 , b 2 , b 3), c (c 1 , c 2 , c 3), то

.

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c , следовательно V = |a b c| .

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а о. Символом r =ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , | АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.

Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m +4n и b = m-n , где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120 о.

Решение . Имеем: cos φ = ab /ab, ab = (2m +4n ) (m-n ) = 2 m 2 - 4n 2 +2mn =
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m +4n ) (2m +4n ) =
= 4 m 2 +16mn +16 n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b 2 =
= (m-n )(m-n ) = m 2 -2mn + n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos φ = = -1/2, φ = 120 o .

Пример 1.3. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение . Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB × AC| . AC=AB+BC , значит, вектор AC имеет координаты
. .

Пример 1.4 . Даны два вектора a (11,10,2) и b (4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.

Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b , то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x 2 = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие a b c > 0, получим неравенство

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = - , z =- .