Коэффициент корреляции рангов спирмена пример. Корреляционный анализ по методу Спирмена (ранги Спирмена)

Студента-психолога (социолога, менеджера, управленца и др.) нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых группах.

В математике для описания связей между переменными величинами используют понятие функции F, которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной X определенное значение зависимой переменной Y. Полученная зависимость обозначается как Y=F(X).

При этом виды корреляционных связей между измеренными признаками могут быть различны: так, корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна — если с увеличением или уменьшением одной переменной X,вторая переменная Y в среднем либо также растет, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами.

Корреляция будет положительной, если с увеличением переменной X переменная Y в среднем также увеличивается, а если с увеличением X переменная Y имеет в среднем тенденцию к уменьшению, то говорят о наличии отрицательной корреляции. Возможна ситуация, когда между переменными невозможно установить какую-либо зависимость. В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где n — количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых); D — разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого; D2 — сумма квадратов разностей рангов.

Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена представлены ниже:

Величина коэффициента линейной корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Коэффициент линейной корреляции Спирмена может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут располагаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными Х и Y будет равна точно -1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.

Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Если знак коэффициента линейной корреляции — плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.

Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания — произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если считается, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот.

Рассмотрим пример корреляции Спирмена.

Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.

Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в таблице:

Подставляем полученные данные в вышеприведенную формулу, и производим расчет. Получаем:

Для нахождения уровня значимости обращаемся к таблице «Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена,» в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.

Строим соответствующую «ось значимости»:

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью — иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Н0) гипотезу о сходстве и принять альтернативную (Н1) о наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Корреляция спирмена. Корреляционный анализ по методу спирмена. Ранги спирмена. Коэффициент корреляции Спирмена. Ранговая корреляция Спирмена

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту(силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумяпрофилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляциинеобходимо располагать двумя рядами значений,

которые могут быть проранжированы. Такими рядами значениймогут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группеиспытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двухиспытуемых по одному и тому же набору признаков;

3) две групповые иерархии признаков,

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому изпризнаков.

Как правило, меньшему значению признака начисляется меньшийранг.

В первом случае (два признака) ранжируются индивидуальные значенияпо первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальныезначения по второму признаку.

Если два признака связаны положительно, то испытуемые,имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, аиспытуемые, имеющие высокие ранги по

одному из признаков, будут иметь по другому признаку такжевысокие ранги. Для подсчета rs необходимо определить разности (d) междурангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показателиd определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем

меньше разности между рангами, тем больше будет rs, темближе он будет к +1.

Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны имежду ними не будет

никакого соответствия. Формула составлена так, что в этомслучае rs окажется близким к 0.

В случае отрицательной корреляции низким рангамиспытуемых по одному признаку

будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, инаоборот. Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двум переменным,тем ближе rs к -1.

Во втором случае(два индивидуальных профиля), ранжируютсяиндивидуальные

значения, полученные каждым из 2-хиспытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) наборупризнаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг –признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны бытьизмерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например,невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF),если они выражены в «сырых» баллах, поскольку по разным факторамдиапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до

20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторовбудет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единойшкале (чаще всего это шкала стенов).

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаныположительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметьнизкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемогофактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то и у другогоиспытуемого он должен иметь низкий ранг,если у одного испытуемого фактор С

(эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другойиспытуемый должен иметь по

этому фактору высокий ранг и т.д.

В третьем случае (два групповых профиля), ранжируютсясреднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному,одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассужденийтакая же, как и в предыдущих двух случаях.

В случае 4-ом (индивидуальный и групповой профили),ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемогои среднегрупповые значения по тому женабору признаков, которые получены, как правило, при исключении этогоотдельного испытуемого – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которымбудет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволитпроверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициентакорреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случаеэто количество будет совпадать с объемом выборки n. Во втором случаеколичеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. Втретьем и четвертом случае N – это также количество сопоставляемых признаков, ане количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах. Еслиабсолютная величина rs достигает критического значения или превышает его,корреляция достоверна.

Гипотезы.

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1,второй – к трем остальным случаям.

Первый вариант гипотез

H0: Корреляция между переменными А и Б не отличается отнуля.

H1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличаетсяот нуля.

Второй вариант гипотез

H0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.

H1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличаетсяот нуля.

Ограничения коэффициента ранговой корреляции

1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицамикритических значений.

2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs прибольшом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемымпеременным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должныпредставлять собой две последовательности несовпадающих значений. Вслучае, если это условие не соблюдается,необходимо вносить поправку на одинаковые ранги.

Коэффициентранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

Если в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуютгруппы одинаковых рангов, перед подсчетом коэффициента ранговой корреляциинеобходимо внести поправки на одинаковые ранги Та и Тв:

Та = Σ (а3 – а)/12,

Тв = Σ (в3 – в)/12,

где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговомряду А, в – объем каждой

группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

Для подсчета эмпирического значения rs используют формулу:

Расчеткоэффициента ранговой корреляции Спирмена rs

1. Определить, какиедва признака или две иерархиипризнаков будут участвовать в

сопоставлении как переменные А и В.

2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования (см. П.2.3).Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых илипризнаков.

3. Проранжировать значения переменной В, в соответствии стеми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеровиспытуемых или признаков.

5. Возвести каждую разность в квадрат: d2. Эти значениязанести в четвертый столбец таблицы.

Та = Σ (а3 – а)/12,

Тв = Σ (в3 – в)/12,

где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговомряду А; в – объем каждой группы

одинаковых рангов в ранговом ряду В.

а) при отсутствии одинаковых рангов

rs  1 − 6 ⋅

б) при наличии одинаковых рангов

Σd 2  T T

r  1 − 6 ⋅ a в,

где Σd2 – сумма квадратов разностей междурангами; Та и Тв – поправки на одинаковые

N – количество испытуемых или признаков, участвовавших вранжировании.

9. Определить по Таблице (см. Приложение 4.3) критическиезначения rs для данного N. Если rs, превышает критическое значение или,по крайней мере, равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.

Пример 4.1.При определении степени зависимости реакцииупотребления алкоголя на глазодвигательную реакцию в испытуемой группе былиполучены данные до употребления алкоголя и после употребления. Зависит лиреакция испытуемого от состояния опьянения?

Результаты эксперимента:

До:16, 13, 14, 9, 10, 13, 14, 14, 18, 20, 15, 10, 9, 10, 16,17, 18. После: 24, 9, 10, 23, 20, 11, 12, 19, 18, 13, 14, 12, 14, 7, 9, 14.Сформулируем гипотезы:

Н0: корреляция между степенью зависимости реакции доупотребления алкоголя и после не отличается от нуля.

Н1: корреляция между степенью зависимости реакции доупотребления алкоголя и после достоверно отличается от нуля.

Таблица 4.1. Расчет d2 для рангового коэффициента корреляцииСпирмена rs при сопоставлении показателей глазодвигательной реакции доэксперимента и после (N=17)

значения

значения

Таккак, мы имеем повторяющиеся ранги, то в данном случае будем применять формулу споправкой на одинаковые ранги:

Та= ((23-2)+(33-3)+(23-2)+(33-3)+(23-2)+(23-2))/12=6

Тb =((23-2)+(23-2)+(33-3))/12=3

Найдем эмпирическое значение коэффициента Спирмена:

rs = 1- 6*((767,75+6+3)/(17*(172-1)))=0,05

По таблице (приложение 4.3) находим критические значениякоэффициента корреляции

0,48 (p ≤ 0,05)

0,62 (p ≤ 0,01)

Получаем

rs=0,05∠rкр(0,05)=0,48

Вывод: Н1гипотеза отвергается ипринимается Н0. Т.е. корреляция между степенью

зависимости реакции до употребления алкоголя и после неотличается от нуля.

Калькулятор ниже вычисляет коэффициент ранговой корреляции Спирмена между двумя случайными величинами. Теоретическая часть, чтобы не отвлекаться от калькулятора, традиционно размещается под ним.

add import_export mode_edit delete

Изменения случайных величин

arrow_upwardarrow_downwardXarrow_upwardarrow_downwardY

mode_editРазмер страницы: 5 10 20 50 100 chevron_left chevron_right

Изменения случайных величин

Импортировать данныеОшибка импорта

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: -50.5;-50.5

Импортировать Назад Отменить

Метод расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена на самом деле описывается очень просто. Это тот же самый Коэффициент корреляции Пирсона , только рассчитанный не для самих результатов измерений случайных величин, а для их ранговых значений.

То есть,

Осталось только разобраться, что такое ранговые значения и для чего все это нужно.

Если элементы вариационного ряда расположить в порядке возрастания или убывания, то рангом элемента будет являться его номер в этом упорядоченном ряду.

Например, пусть у нас есть вариационный ряд {17,26,5,14,21}. Отсортируем его элементы в порядке убывания {26,21,17,14,5}. 26 имеет ранг 1, 21 — ранг 2 и т.д. Вариационный ряд ранговых значений будет выглядеть следующим образом {3,1,5,4,2}.

То есть, при расчете коэффициента Спирмена исходные вариационные ряды преобразуются в вариационные ряды ранговых значений, после чего к ним применяется формула Пирсона.

Есть одна тонкость — ранг повторяющихся значений берется как среднее из рангов. То есть для ряда {17, 15, 14, 15} ряд ранговых значений будет выглядеть как {1, 2.5, 4, 2.5}, так как первый элемент равный 15 имеет ранг 2, а второй — ранг 3, и .

Если же повторяющихся значений нет, то есть все значения ранговых рядов — числа из диапазона от 1 до n, формулу Пирсона можно упростить доНу и кстати, эта формула чаще всего и приводится как формула расчета коэффицента Спирмена.

В чем же суть перехода от самих значений к их ранговым значениям?А суть в том, что исследуя корреляцию ранговых значений можно установить насколько хорошо зависимость двух переменных описывается монотонной функцией.

Знак коэффициента указывает на направление связи между переменными. Если знак положительный, то значения Y имеют тенденцию увеличиваться при увеличении значений X; если знак отрицательный, то значения Y имеют тенденцию уменьшаться при увеличении значений X. Если коэффициент равен 0, то никакой тенденции нет. Если же коэффициент равен 1 или -1, то зависимость между X и Y имеет вид монотонной функции — то есть, при увеличении X, Y также увеличивается, либо наоборот, при увеличении X, Y уменьшается.

То есть, в отличие от коэффициента корреляции Пирсона, который может выявить только линейную зависимость одной переменной от другой, коэффициент корреляции Спирмена может выявить монотонную зависимость, там, где непосредственная линейная связь не выявляется.

Поясню на примере. Предположим, что мы исследуем функцию y=10/x.У нас есть следующие результаты измерений X и Y{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}Для этих данных коэффициент корреляции Пирсона равен -0.4686, то есть связь слабая либо отсутствует. А вот коэффициент корреляции Спирмена строго равен -1, что как бы намекает исследователю, что Y имеет строгую отрицательную монотонную зависимость от X.

Корреляционный анализ является методом, позволяющим обнаруживать зависимости между определенным количеством случайных величин. Цель корреляционного анализа, сводится к выявлению оценки силы связей между такими случайными величинами либо признаками, характеризующими определенные реальные процессы.

Сегодня мы предлагаем рассмотреть, как применяется корреляционный анализ по Спирмену, для наглядного отображения форм связи в практическом трейдинге.

Корреляция по Спирмену или основа корреляционного анализа

Для того чтобы понять, что такое корреляционный анализ, изначально следует уяснить понятие корреляции.

При этом, если цена начнет двигаться в нужном Вам направлении необходимо вовремя произвести разлокирование позиций.

Для данной стратегии в основу которой положен корреляционный анализ, наилучшим образом подходят торговые инструменты имеющие высокую степень корреляции (EUR/USD и GBP/USD, EUR/AUD и EUR/NZD, AUD/USD и NZD/USD, контракты CFD и тому подобные).

Видео: Применение корреляции Спирмена на рынке Форекс

— это количественная оценка статистического изучения связи между явлениями, используемая в непараметрических методах.

Показатель показывает, как отличается полученная при наблюдении сумма квадратов разностей между рангами от случая отсутствия связи.

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора производится:

• расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена;
• вычисление доверительного интервала для коэффициента и оценка его значимости;

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена относится к показателям оценки тесноты связи. Качественную характеристику тесноты связи коэффициента ранговой корреляции, как и других коэффициентов корреляции, можно оценить по шкале Чеддока .

Расчет коэффициента состоит из следующих этапов:

Свойства коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Область применения. Коэффициент корреляции рангов используется для оценки качества связи между двумя совокупностями. Кроме этого, его статистическая значимость применяется при анализе данных на гетероскедастичность .

Пример. По выборке данных наблюдаемых переменных X и Y:

1. составить ранговую таблицу;
2. найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне 2a
3. оценить характер зависимости

Решение. Присвоим ранги признаку Y и фактору X .XYранг X, d xранг Y, d y2821113025223629434031543032354634665635875438786039109564191060421111684412127046131376501414Матрица рангов.ранг X, d xранг Y, d y(d x — d y) 2110220431541354660871781109191011111012120131301414010510510Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.Связь между признаком Y и фактором X сильная и прямаяЗначимость коэффициента ранговой корреляции СпирменаДля того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H i . p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:где n — объем выборки; ρ — выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.Если |p| T kp — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.1/2;12) = 1.782Поскольку T kp